Función de distribución acumulada

La función de distribución acumulada se obtiene acumulando probabilidad desde la izquierda. Para una variable discreta, \(F(x)=\sum_{t\le x}p(t)\) es una escalera que salta en cada valor posible; para una continua, \(F(x)=\int_{-\infty}^{x}f(t)\,dt\) es una curva sin saltos. Con \(f(x)=2x\) en \([0,1]\) resulta \(F(x)=x^2\) en ese intervalo.

Toda \(F\) tiene tres propiedades: no decrece, tiende a 0 cuando \(x\to-\infty\) y a 1 cuando \(x\to+\infty\); además es continua por la derecha. Recíprocamente, cualquier función con esas propiedades es la distribución de alguna variable. Sirve para probar rápido que una candidata no es válida.

Con ella las probabilidades de intervalos son restas: \(P(a<X\le b)=F(b)-F(a)\) y \(P(X>a)=1-F(a)\). Los saltos de \(F\) son las masas, \(P(X=a)=F(a)-F(a^-)\), y donde \(F\) es derivable la densidad es \(f(x)=F'(x)\). Un error común es confundir \(P(X>a)\) con \(F(a)\), o sumar en lugar de restar.

Los cuantiles se leen invirtiendo \(F\): el valor \(m\) con \(F(m)=\tfrac12\) es la mediana. La esperanza que sigue en el curso se puede calcular tanto con la masa como con la densidad, y \(F\) es el hilo que conecta ambas descripciones.