Teorema central del límite

Sean \(X_1,\dots,X_n\) independientes, con la misma distribución, media \(\mu\) y varianza \(\sigma^2\) finita y positiva. La suma \(S_n\) tiene media \(n\mu\) y varianza \(n\sigma^2\); el promedio \(\bar X_n\) tiene media \(\mu\) y varianza \(\sigma^2/n\). El teorema dice que las versiones estandarizadas, \((S_n-n\mu)/(\sigma\sqrt n)\) y \((\bar X_n-\mu)/(\sigma/\sqrt n)\), convergen en distribución a una \(N(0,1)\).

En la práctica se usa como aproximación: para \(n\) grande, \(\bar X_n\) es casi \(N(\mu,\sigma^2/n)\), y las probabilidades se calculan estandarizando y consultando la función de distribución normal. Una regla común pide \(n\ge30\); si la población es muy asimétrica se necesita más, y si ya es normal la aproximación es exacta con cualquier \(n\).

El teorema complementa a la ley de los grandes números: esta dice que \(\bar X_n\) se acerca a \(\mu\), y aquel que el error \(\bar X_n-\mu\) es del orden de \(\sigma/\sqrt n\) y de forma normal. Por eso cuadruplicar la muestra solo reduce el error a la mitad. Es la base de los intervalos de confianza y de las pruebas de hipótesis.

Errores típicos: dividir entre \(n\) en lugar de \(\sqrt n\) al obtener el error estándar, olvidar la independencia, o creer que los datos individuales se vuelven normales; lo que se aproxima a una normal es la distribución de la suma o del promedio, no la de cada \(X_i\).