Variable aleatoria

El nombre engaña: una variable aleatoria no es una variable ni es aleatoria en sí misma. Es una función fija \(X\) que lleva cada resultado \(\omega\) del espacio muestral a un número \(X(\omega)\). La aleatoriedad está en el experimento, que decide qué \(\omega\) ocurre; \(X\) solo lo traduce a un número. Al lanzar dos dados, \(X(a,b)=a+b\) convierte el par en su suma.

Gracias a \(X\) los eventos se describen con condiciones numéricas. El conjunto \(\{X=4\}\) es el evento formado por todos los resultados \(\omega\) con \(X(\omega)=4\); para la suma de dos dados son \((1,3)\), \((2,2)\) y \((3,1)\). Del mismo modo \(\{X\le 5\}\) o \(\{X\text{ es par}\}\) son eventos, y su probabilidad se calcula con la medida de probabilidad del espacio original, por ejemplo \(P(X=4)=\tfrac3{36}\).

Una variable aleatoria es discreta si toma valores aislados que se pueden listar (número de águilas, de llamadas, de defectos) y continua si puede tomar cualquier valor de un intervalo (un tiempo, una estatura, una temperatura). La distinción decide cómo se describe su distribución: con una función de masa en el caso discreto y con una función de densidad en el continuo.

Dos variables distintas pueden vivir en el mismo experimento y tener comportamientos muy diferentes: con dos dados, la suma \(a+b\) y el doble del primero \(2a\) no se distribuyen igual. El error típico es confundir la variable con uno de sus valores, o la función \(X\) con el evento \(\{X=x\}\).