Distribución normal

Una variable normal se escribe \(X\sim N(\mu,\sigma^2)\): \(\mu\) es su media y \(\sigma^2\) su varianza, de modo que \(\sigma\) es la desviación estándar. La campana es simétrica respecto a \(\mu\), donde la densidad alcanza su máximo; \(\sigma\) controla el ancho: a mayor \(\sigma\), campana más baja y extendida. Si \(Z\sim N(0,1)\) se le llama normal estándar.

Toda normal se reduce a la estándar mediante \(Z=(X-\mu)/\sigma\). Así basta una sola tabla (o una sola función de distribución, \(\Phi\)) para calcular cualquier probabilidad. Además, una transformación lineal \(aX+b\) de una normal sigue siendo normal, con media \(a\mu+b\) y varianza \(a^2\sigma^2\).

La regla empírica 68-95-99.7 resume la forma: aproximadamente 68 % de la probabilidad cae a menos de una desviación estándar de la media, 95 % a menos de dos y 99.7 % a menos de tres. Por simetría, \(P(Z\le-z)=1-P(Z\le z)\) y \(P(Z\le0)=\tfrac12\).

La densidad no tiene una antiderivada elemental, por eso las probabilidades se leen de tablas o se calculan numéricamente. Un error común es confundir el segundo parámetro con la desviación estándar: en \(N(5,9)\), \(\sigma=3\). Su importancia teórica viene del teorema central del límite, que explica por qué aparece tan seguido.