Distribución de Poisson

Llamadas que llegan a una central, errores tipográficos por página o partículas detectadas por segundo son conteos de eventos que ocurren de manera independiente a un ritmo medio estable. El parámetro \(\lambda\) es el número medio de eventos en el intervalo considerado y la probabilidad de observar exactamente \(k\) es \(e^{-\lambda}\lambda^k/k!\).

Una propiedad distintiva es que esperanza y varianza coinciden: \(E[X]=\operatorname{Var}(X)=\lambda\). Si la tasa es de \(r\) eventos por unidad, en un intervalo de longitud \(t\) se usa \(\lambda=rt\): 6 llamadas por hora equivalen a \(\lambda=3\) en media hora.

La Poisson surge como límite de la binomial: cuando \(n\to\infty\) y \(p\to0\) con \(np=\lambda\) fijo, \(\binom nk p^k(1-p)^{n-k}\to e^{-\lambda}\lambda^k/k!\). Por eso aproxima bien a \(\mathrm{Bin}(200,0.01)\) con \(\lambda=2\).

La suma de variables de Poisson independientes con parámetros \(\lambda_1\) y \(\lambda_2\) es de Poisson con parámetro \(\lambda_1+\lambda_2\). Un error frecuente es aplicarla cuando los eventos se agrupan o la tasa cambia: ahí la varianza supera a la media y el modelo no ajusta.