Distribución uniforme

Si un autobús pasa cada 10 minutos y llegas sin mirar el reloj, tu tiempo de espera puede modelarse como uniforme en \([0,10]\). Fuera del intervalo la densidad vale 0 y dentro vale \(1/(b-a)\), el valor que hace que el área total del rectángulo sea 1. Se escribe \(X\sim U(a,b)\).

Como la densidad es constante, la probabilidad de un subintervalo es proporcional a su longitud: \(P(c<X<d)=(d-c)/(b-a)\) cuando \(a\le c<d\le b\). La función de distribución crece en línea recta, \(F(x)=(x-a)/(b-a)\) para \(a\le x\le b\), y vale 0 antes de \(a\) y 1 después de \(b\).

La esperanza es el punto medio, \(E[X]=(a+b)/2\), por simetría, y la varianza es \(\operatorname{Var}(X)=(b-a)^2/12\). Observa que la varianza depende solo de la longitud del intervalo, no de su posición: desplazar el intervalo mueve la media pero no la dispersión.

Un error frecuente es tomar la densidad como una probabilidad: \(f(x)=1/(b-a)\) puede ser mayor que 1 (en \(U(0,\tfrac12)\) vale 2) y \(P(X=c)=0\) para todo \(c\). Además, si se condiciona a un subintervalo, la variable sigue siendo uniforme en él. La \(U(0,1)\) es el ladrillo de los generadores de números aleatorios.