Inferencia estadística · Definición

Prueba de hipótesis

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Antes de empezar necesitas conocer

Convierte una pregunta sobre el mundo en una decisión que se puede tomar con datos y con un riesgo de error conocido.

Definición

Una prueba de hipótesis es una regla que, con los datos de una muestra, decide si se rechaza la hipótesis nula \(H_0\), que fija un valor \(\theta_0\) para un parámetro \(\theta\), frente a la alternativa \(H_1\).

\[H_0:\theta=\theta_0\quad\text{contra}\quad H_1:\theta\ne\theta_0\]

Una prueba parte de dos hipótesis: la nula \(H_0\), que representa el statu quo (por ejemplo \(\mu=\mu_0\)), y la alternativa \(H_1\), que es lo que se quiere respaldar. Se resume la muestra en un estadístico; si \(\sigma\) es conocida y la media muestral es normal, el estadístico es \(z=(\bar x-\mu_0)/(\sigma/\sqrt n)\). Se rechaza \(H_0\) cuando \(z\) cae en la región de rechazo, que se fija antes de ver los datos.

La forma de \(H_1\) decide la región. Si \(H_1:\mu\ne\mu_0\) la prueba es bilateral y se rechaza si \(|z|>z_{\alpha/2}\) (con \(\alpha=0.05\), \(1.96\)). Si \(H_1:\mu>\mu_0\) se rechaza si \(z>z_\alpha\) (\(1.645\)), y si \(H_1:\mu<\mu_0\), si \(z<-z_\alpha\). La elección de \(H_1\) se hace antes de mirar los datos.

Hay dos maneras de equivocarse. El error tipo I es rechazar una \(H_0\) verdadera y su probabilidad es el nivel de significancia \(\alpha\); el error tipo II es no rechazar una \(H_0\) falsa, con probabilidad \(\beta\). Con \(n\) fijo, bajar uno sube el otro; la única forma de bajar ambos es aumentar la muestra. A \(1-\beta\) se le llama potencia.

No rechazar \(H_0\) no la demuestra: solo indica que los datos no bastan para descartarla. Esta idea se relaciona con los intervalos de confianza: una prueba bilateral de nivel \(\alpha\) rechaza \(\mu_0\) exactamente cuando queda fuera del intervalo de nivel \(1-\alpha\). El siguiente concepto, el valor p, resume cuánta evidencia hay contra \(H_0\) sin fijar \(\alpha\) de antemano.

Para pensar

Una prueba no rechaza \(H_0\). ¿Se puede afirmar que \(H_0\) es verdadera?

No: solo que los datos no aportan evidencia suficiente en su contra; la prueba pudo tener poca potencia.

¿Cómo se pueden reducir a la vez \(\alpha\) y \(\beta\)?

Aumentando el tamaño de la muestra; con \(n\) fijo, reducir uno aumenta el otro.

Ejercicios 10

  1. Se contrasta \(H_0:\mu=50\) con \(n=36\), \(\bar x=53\) y \(\sigma=12\) conocida. ¿Cuánto vale el estadístico \(z\)?
  2. Con \(z=1.5\), prueba bilateral y \(\alpha=0.05\) (valor crítico \(1.96\)), ¿cuál es la decisión?
  3. ¿Qué es un error tipo I?
  4. ¿Qué es un error tipo II?
  5. Se contrasta \(H_0:\mu=50\) con \(n=25\), \(\bar x=46\) y \(\sigma=10\). ¿Cuánto vale \(z\)?
  6. Para \(H_1:\mu>\mu_0\) con \(\alpha=0.05\) se rechaza si \(z>1.645\). Si \(z=1.8\), ¿qué se concluye?
  7. Para \(H_1:\mu<\mu_0\) con \(\alpha=0.01\) se rechaza si \(z<-2.326\). Si \(z=-2.0\), ¿qué se concluye?
  8. Se contrasta \(H_0:\mu=50\) contra \(H_1:\mu\ne50\) con \(n=64\), \(\bar x=47.6\), \(\sigma=8\) y \(\alpha=0.05\). ¿Qué se concluye?
  9. Con la muestra fija, ¿qué ocurre con \(\beta\) si se sube \(\alpha\) de \(0.01\) a \(0.05\)?
  10. Para \(\sigma=12\) y \(n=36\) el intervalo del \(95\,\%\) para \(\mu\) es \((46.08,\ 53.92)\). Al contrastar \(H_0:\mu=55\) bilateralmente con \(\alpha=0.05\), ¿qué se concluye?

Después de esto

Referencias

  • George Casella, Roger L. Berger, Statistical Inference, 2nd edition, Duxbury / Cengage, 2002. §8.1 y §8.3
  • Ronald E. Walpole, Raymond H. Myers, Sharon L. Myers, Keying Ye, Probabilidad y estadística para ingeniería y ciencias, 9.ª edición, Pearson, 2012. cap. 10
  • Larry Wasserman, All of Statistics, 1st edition, Springer, 2004. §10.1