Varianza

Se mide la desviación \(X-E[X]\) de cada resultado respecto al centro y se promedia. Promediar la desviación sin más da siempre 0, porque lo positivo compensa lo negativo; por eso se eleva al cuadrado antes de promediar, y de ahí \(\operatorname{Var}(X)=E[(X-E[X])^2]\). Como es un promedio de cuadrados, nunca es negativa.

Para calcularla casi siempre se usa la forma equivalente \(\operatorname{Var}(X)=E[X^2]-(E[X])^2\). Con un dado justo, \(E[X^2]=\tfrac{91}{6}\) y \(E[X]=\tfrac72\), de modo que \(\operatorname{Var}(X)=\tfrac{35}{12}\). Un error típico es olvidar restar \((E[X])^2\) y quedarse con \(E[X^2]\).

Sus propiedades se leen en la transformación lineal: \(\operatorname{Var}(aX+b)=a^2\operatorname{Var}(X)\). Desplazar con \(b\) no cambia la dispersión y reescalar con \(a\) la multiplica por \(a^2\); por eso \(\operatorname{Var}(-2X)=4\operatorname{Var}(X)\). Vale 0 exactamente cuando \(X\) es constante.

Sus unidades son las de \(X\) al cuadrado, lo que dificulta interpretarla; la raíz cuadrada devuelve la escala original. Para dos variables, la varianza de la suma incluye un término cruzado que mide cómo se mueven juntas, idea que desarrolla la covarianza.