Medida de probabilidad

Los axiomas de Kolmogórov piden tres cosas: \(P(A)\ge 0\) para todo evento \(A\), \(P(\Omega)=1\), y aditividad: si \(A_1,A_2,\dots\) son mutuamente excluyentes, la probabilidad de su unión es la suma de sus probabilidades. Todo lo demás en la teoría se deduce de ellos; en espacios infinitos, además, \(P\) se define solo sobre una familia de eventos admisibles, algo que no necesitaremos en casos finitos.

De los axiomas salen reglas muy útiles. Como \(A\) y \(A^c\) son excluyentes y suman \(\Omega\), \(P(A^c)=1-P(A)\); en particular \(P(\varnothing)=0\) y \(0\le P(A)\le 1\). Si \(A\subseteq B\), entonces \(P(A)\le P(B)\). Y para eventos cualesquiera, \(P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)\), pues la intersección se cuenta dos veces al sumar.

En un espacio finito basta con asignar un número no negativo a cada resultado, de modo que sumen 1: la probabilidad de un evento es la suma de las de sus resultados. Para un dado justo cada cara recibe \(\frac16\) y «sale par» vale \(\frac36=\frac12\). Un dado cargado sería otra medida sobre el mismo \(\Omega\).

Un error frecuente es creer que \(P(A)=0\) significa que \(A\) es imposible, o que \(P(A)=1\) significa que es seguro; en espacios continuos puede ocurrir un evento de probabilidad cero. El axioma no dice cómo elegir los números: eso lo decide el modelo. El siguiente concepto estudia el caso más sencillo, en el que todos los resultados pesan igual.