Intervalo de confianza

Un estimador puntual da un solo valor y no dice nada de su precisión. El intervalo de confianza añade ese margen: se construye con un procedimiento que, en muestreos repetidos, atrapa al parámetro la fracción \(1-\alpha\) de las veces. Los niveles habituales son \(90\,\%\), \(95\,\%\) y \(99\,\%\), con \(z=1.645,\ 1.96\) y \(2.576\).

Cuando \(\sigma\) es conocida y la media muestral es normal (exacta si la población lo es, aproximada por el teorema central del límite si \(n\) es grande), el intervalo para \(\mu\) es \(\bar x\pm z\,\sigma/\sqrt n\). El término \(z\,\sigma/\sqrt n\) se llama margen de error; el intervalo es simétrico alrededor de \(\bar x\) y su longitud es el doble del margen.

El margen depende de tres cosas: sube con la confianza (mayor \(z\)), sube con la dispersión \(\sigma\) y baja con \(\sqrt n\). De ahí que, para fijar un margen \(E\), baste despejar \(n\ge(z\sigma/E)^2\) y redondear hacia arriba. Con \(\sigma\) desconocida se reemplaza por \(S\) y \(z\) por un valor de la distribución \(t\).

La interpretación correcta es la más malentendida: no se dice que \(\mu\) tenga probabilidad \(0.95\) de estar en un intervalo ya calculado, porque \(\mu\) es fija. El \(95\,\%\) es una propiedad del método. Este mismo razonamiento, invertido, da las pruebas de hipótesis.