Desigualdad de Chebyshev

Si \(X\) tiene media \(\mu\) y desviación estándar \(\sigma\) finitas, para todo \(k>0\) se cumple \(P(|X-\mu|\ge k\sigma)\le 1/k^2\). Una forma equivalente usa un margen absoluto \(\varepsilon\): \(P(|X-\mu|\ge\varepsilon)\le\sigma^2/\varepsilon^2\). Ambas dicen que una varianza pequeña obliga a la variable a concentrarse cerca de su media.

Tomada por el complemento, garantiza concentración: al menos \(1-1/k^2\) de la probabilidad queda a menos de \(k\sigma\) de la media, es decir, al menos \(\tfrac34\) con \(k=2\) y \(\tfrac89\) con \(k=3\). Estas cifras valen para cualquier distribución con varianza finita, sea simétrica o no, discreta o continua.

Esa generalidad tiene un precio: la cota suele ser poco ajustada. Para una normal, la probabilidad de alejarse más de \(2\sigma\) es cerca de 0.05, mientras que Chebyshev solo asegura que no pasa de 0.25. Con \(k\le1\) la cota es 1 o mayor y no dice nada.

La idea de la demostración es comparar \(\sigma^2=E[(X-\mu)^2]\) con la contribución de la zona lejana, donde \((X-\mu)^2\ge\varepsilon^2\). Un error típico es usar la varianza donde corresponde la desviación estándar, o aplicar la cota a un solo lado cuando el evento es bilateral.