Probabilidad condicional · Definición

Probabilidad total

probabilidadcondicional

Antes de empezar necesitas conocer

Cuando un evento puede ocurrir por varios caminos, esta fórmula permite calcularlo caso por caso y luego reunir los resultados.

Definición

La probabilidad total de un evento \(A\) es el promedio ponderado de sus probabilidades condicionales \(P(A\mid B_i)\) sobre una partición \(B_i\) del espacio muestral, con la probabilidad de cada caso como peso.

\[P(A)=\sum_{i=1}^{n}P(A\mid B_i)\,P(B_i)\]

La idea es dividir para conquistar. Si los eventos \(B_1,\dots,B_n\) son excluyentes y cubren todo el espacio muestral (una partición), cada resultado de \(A\) cae en exactamente un \(B_i\). Así \(A\) se parte en los trozos disjuntos \(A\cap B_i\), y al sumar sus probabilidades y usar la regla del producto \(P(A\cap B_i)=P(A\mid B_i)P(B_i)\) se obtiene la fórmula.

Es un promedio ponderado: cada \(P(A\mid B_i)\) se multiplica por el peso \(P(B_i)\), y los pesos suman 1. Por eso el resultado siempre queda entre la menor y la mayor de las condicionales. Con tres máquinas que fabrican 50 %, 30 % y 20 % de las piezas y producen 1 %, 2 % y 5 % de defectuosas, la proporción global es \(0.005+0.006+0.010=0.021\), no el promedio simple de 1, 2 y 5.

El caso más usado es la partición más pequeña, \(\{B,B^c\}\): \(P(A)=P(A\mid B)P(B)+P(A\mid B^c)P(B^c)\). También sirve para problemas secuenciales: la probabilidad de que la segunda carta de una baraja sea un as, condicionando a si la primera lo fue, resulta \(\tfrac1{13}\), igual que para la primera.

Errores típicos: usar casos que se traslapan o que no cubren todo el espacio, y olvidar los pesos. Este resultado es el denominador del teorema de Bayes, que lo usa para invertir las condicionales.

Para pensar

Si \(P(A\mid B_i)=0.3\) para todos los casos de una partición, ¿cuánto vale \(P(A)\)?

Vale 0.3: es un promedio ponderado de valores iguales y los pesos suman 1.

¿Por qué la probabilidad de sacar un as en la segunda carta es la misma que en la primera?

Porque al promediar sobre lo que pudo salir primero, la simetría hace que ninguna posición de la baraja sea especial: \(\tfrac4{52}\cdot\tfrac3{51}+\tfrac{48}{52}\cdot\tfrac4{51}=\tfrac1{13}\).

Ejercicios 10

  1. Los eventos \(B_1,B_2\) forman una partición con \(P(B_1)=0.4\), \(P(B_2)=0.6\), \(P(A\mid B_1)=0.5\) y \(P(A\mid B_2)=0.2\). ¿Cuánto vale \(P(A)\)?
  2. La urna A tiene 3 bolas rojas y 2 azules; la urna B, 1 roja y 4 azules. Se elige una urna con una moneda justa y se saca una bola. ¿Cuál es la probabilidad de que sea roja?
  3. Tres máquinas producen el 50 %, 30 % y 20 % de las piezas, con 1 %, 2 % y 5 % de defectuosas respectivamente. ¿Qué proporción de todas las piezas es defectuosa?
  4. ¿Qué debe cumplir una familia \(B_1,\dots,B_n\) para usarla en la fórmula de la probabilidad total?
  5. Llueve con probabilidad 0.3. Si llueve, llegas tarde con probabilidad 0.5; si no, con 0.1. ¿Con qué probabilidad llegas tarde?
  6. Se sacan dos cartas sin reposición de una baraja de 52. ¿Cuál es la probabilidad de que la segunda sea un as?
  7. Se sabe que \(P(A)=0.5\), \(P(B)=0.5\) y \(P(A\mid B)=0.8\). ¿Cuánto vale \(P(A\mid B^c)\)?
  8. Se lanza un dado. Si sale 6 se saca de una urna donde la probabilidad de roja es 1/2; si no, de otra donde es 1/10. ¿Probabilidad de sacar roja?
  9. Si \(0<P(B)<1\) y \(P(A\mid B)=P(A\mid B^c)=p\), ¿cuánto vale \(P(A)\)?
  10. Una enfermedad afecta al 2 % de la población. La prueba da positivo al 90 % de los enfermos y al 5 % de los sanos. ¿Qué proporción de todas las personas da positivo?

Después de esto

Referencias

  • Joseph K. Blitzstein, Jessica Hwang, Introduction to Probability, 2nd edition, CRC Press, 2019. §2.3
  • Sheldon Ross, A First Course in Probability, 10th edition, Pearson, 2019. §3.3
  • Larry Wasserman, All of Statistics, 1st edition, Springer, 2004. §1.4