Distribución binomial

Si se repiten \(n\) ensayos de Bernoulli independientes, todos con probabilidad de éxito \(p\), el número total de éxitos \(X\) es binomial; se escribe \(X\sim\mathrm{Bin}(n,p)\). Para obtener exactamente \(k\) éxitos hay \(\binom{n}{k}\) formas de elegir en qué ensayos ocurren, y cada una tiene probabilidad \(p^k(1-p)^{n-k}\); de ahí la fórmula de masa.

Las cuatro condiciones se revisan una a una: \(n\) fijo de antemano, dos resultados por ensayo, la misma \(p\) en todos y ensayos independientes. Si falla alguna, el modelo no aplica: extraer cartas sin reemplazo rompe la independencia y contar lanzamientos hasta el primer éxito deja \(n\) sin fijar.

Como \(X\) es suma de \(n\) variables de Bernoulli independientes, por linealidad \(E[X]=np\) y, por independencia, \(\operatorname{Var}(X)=np(1-p)\). Con \(n=20\) y \(p=0.3\) se espera 6 éxitos con varianza 4.2.

La distribución es simétrica cuando \(p=\tfrac12\) y se sesga hacia la izquierda o la derecha en otro caso. Para «al menos uno» conviene el complemento, \(1-(1-p)^n\). Cuando \(n\) es grande y \(p\) pequeña, la binomial se aproxima por la de Poisson con \(\lambda=np\).