Probabilidad condicional · Definición

Teorema de Bayes

probabilidadcondicional

Antes de empezar necesitas conocer

Permite pasar de lo que observamos a lo que lo causó: actualizar una creencia inicial con evidencia nueva.

Definición

El teorema de Bayes invierte una probabilidad condicional: da la probabilidad \(P(B_j\mid A)\) de una causa \(B_j\) dado un efecto observado \(A\), a partir de la probabilidad del efecto dada esa causa.

\[P(B_j\mid A)=\frac{P(A\mid B_j)\,P(B_j)}{\sum_{i}P(A\mid B_i)\,P(B_i)}\]

Escribir \(P(A\cap B)\) de dos maneras, \(P(B\mid A)P(A)=P(A\mid B)P(B)\), y despejar da \(P(B\mid A)=P(A\mid B)P(B)/P(A)\). Cuando \(B_1,\dots,B_n\) es una partición, el denominador \(P(A)\) se calcula con la probabilidad total, y de ahí la fórmula completa. \(P(B_j)\) se llama probabilidad a priori, \(P(A\mid B_j)\) verosimilitud y \(P(B_j\mid A)\) probabilidad a posteriori.

Ejemplo guía: una enfermedad afecta al 1 % de la población; la prueba da positivo al 99 % de los enfermos y al 5 % de los sanos. Un positivo tiene probabilidad \(\dfrac{0.01\cdot0.99}{0.01\cdot0.99+0.99\cdot0.05}=\tfrac16\) de ser un enfermo. Pese a que la prueba parece muy fiable, la enfermedad es tan rara que los falsos positivos de los sanos superan a los verdaderos positivos.

Así, la probabilidad a posteriori depende tanto de la evidencia como de la proporción inicial de cada caso. Con una moneda justa o de dos caras, cada cara consecutiva aumenta la sospecha de la trucada: tras tres caras sube de 1/2 a 8/9. Es la base de la inferencia bayesiana.

El error más común es confundir \(P(A\mid B)\) con \(P(B\mid A)\), o ignorar la probabilidad a priori («falacia de la tasa base»). Si \(P(A\mid B_i)\) es igual para todos los casos, observar \(A\) no cambia nada: la posterior coincide con la prior.

Para pensar

Si la prueba fuera perfecta (sin falsos positivos), ¿cuánto valdría la probabilidad de estar enfermo tras un positivo?

Valdría 1: el término de los sanos en el denominador se anula y numerador y denominador coinciden.

¿Por qué una prueba con 99 % de sensibilidad puede dar un positivo poco concluyente?

Porque si la enfermedad es rara, los falsos positivos de la enorme población sana pueden ser más numerosos que los verdaderos positivos.

Ejercicios 10

  1. Si \(P(B)=0.3\), \(P(A\mid B)=0.8\) y \(P(A)=0.4\), ¿cuánto vale \(P(B\mid A)\)?
  2. Una moneda es justa o tiene dos caras, con igual probabilidad. Se lanza una vez y sale cara. ¿Probabilidad de que sea la de dos caras?
  3. ¿Cuál es el enunciado correcto del teorema de Bayes?
  4. La urna A tiene 3 rojas y 2 azules; la B, 1 roja y 4 azules. Se elige una urna con moneda justa y sale una bola roja. ¿Probabilidad de que venga de A?
  5. Tres máquinas producen el 50 %, 30 % y 20 % de las piezas, con 1 %, 2 % y 5 % de defectuosas. Una pieza resulta defectuosa. ¿Probabilidad de que sea de la máquina 1?
  6. Se tienen tres cartas: una roja por ambos lados, una roja y azul, una azul por ambos lados. Se saca una al azar y su cara visible es roja. ¿Probabilidad de que la otra cara sea roja?
  7. Una moneda es justa o de dos caras con igual probabilidad. Se lanza tres veces y salen tres caras. ¿Probabilidad de que sea la de dos caras?
  8. Una enfermedad afecta al 1 %. La prueba da positivo al 99 % de los enfermos y al 5 % de los sanos. Si das positivo, ¿cuál es la probabilidad de estar enfermo?
  9. Si \(0<P(B)<1\) y \(P(A\mid B)=P(A\mid B^c)>0\), ¿qué se concluye de \(P(B\mid A)\)?
  10. Una enfermedad afecta a 1 de cada 1000. La prueba da positivo al 99 % de los enfermos y al 1 % de los sanos. Si das positivo, ¿cuál es aproximadamente la probabilidad de estar enfermo?

Referencias

  • Joseph K. Blitzstein, Jessica Hwang, Introduction to Probability, 2nd edition, CRC Press, 2019. §2.3
  • Sheldon Ross, A First Course in Probability, 10th edition, Pearson, 2019. §3.3
  • Larry Wasserman, All of Statistics, 1st edition, Springer, 2004. §1.4