Inferencia estadística · Definición
Muestra aleatoria
Antes de empezar necesitas conocer
Es la forma de convertir unas pocas observaciones en información sobre toda una población.
Definición
Una muestra aleatoria de tamaño \(n\) es un conjunto de \(n\) variables aleatorias \(X_i\) independientes, todas con la misma distribución, que representan \(n\) observaciones de una población.
En la práctica casi nunca podemos observar a toda la población, así que medimos una parte. Para que esa parte diga algo confiable del todo, cada observación debe salir del mismo mecanismo y no depender de las demás. Esa idea se formaliza con variables aleatorias \(X_1,\dots,X_n\): cada \(X_i\) es el valor que obtendremos en la observación \(i\) antes de medirla, y por eso es aleatoria.
La independencia permite multiplicar probabilidades: \(P(X_1\le a_1,\dots,X_n\le a_n)=\prod_i P(X_i\le a_i)\). La igualdad de distribución significa que todas comparten la misma ley, con la misma media y la misma varianza. No significa que valgan lo mismo: dos lanzamientos de una moneda justa tienen la misma distribución y pueden dar resultados distintos.
Un ejemplo guía son \(n\) lanzamientos independientes de una moneda con \(P(\text{cara})=p\). Cada secuencia concreta con \(k\) caras tiene probabilidad \(p^k(1-p)^{n-k}\). Los valores que ya se midieron, \(x_1,\dots,x_n\), se llaman la muestra observada; las \(X_i\) son su versión antes de observarla.
El error típico es llamar muestra aleatoria a cualquier conjunto de datos. Elegir a los conocidos, tomar a un grupo que se parece entre sí o extraer sin reemplazo de una población pequeña rompe la independencia o la igualdad de distribución. Sobre esta base se definen la media muestral y los estimadores.
Para pensar
Si extraes dos cartas de una baraja sin reemplazo, ¿son \(X_1\) y \(X_2\) una muestra aleatoria?
No: la primera carta cambia la composición de la baraja y por tanto las probabilidades de la segunda; no son independientes. Con reemplazo sí lo serían.
¿Por qué las \(X_i\) son variables aleatorias y no números?
Porque describen el valor de una observación antes de hacerla; solo después de medir se obtienen los números \(x_i\).
Ejercicios 10
- Una moneda con \(P(\text{cara})=\tfrac14\) se lanza 3 veces de forma independiente. ¿Cuál es la probabilidad de la secuencia cara, cruz, cara?
- Se lanza 4 veces un dado justo. ¿Cuál es la probabilidad de que los 4 resultados sean pares?
- ¿Qué dos propiedades definen a una muestra aleatoria \(X_1,\dots,X_n\)?
- Una variable toma los valores 0, 1, 2 con probabilidades \(0.2,\ 0.5,\ 0.3\). En una muestra aleatoria de tamaño 2, ¿cuál es \(P(X_1=2,\ X_2=0)\)?
- Una moneda con \(P(\text{cara})=0.3\) se lanza 4 veces de forma independiente. ¿Cuál es la probabilidad de que las 4 sean cruz?
- Se quiere una muestra aleatoria de los estudiantes de una escuela. ¿Cuál procedimiento se acerca más a ese ideal?
- Se extraen 2 bolas de una urna con 5 rojas y 5 azules. ¿En qué caso las dos extracciones forman una muestra aleatoria?
- Si \(X_1,\dots,X_n\) es una muestra aleatoria, ¿qué se cumple para \(P(X_1\le a,\ X_2\le a)\)?
- Se mide la estatura de 3 hermanos y se llama muestra aleatoria a esas tres medidas de la población adulta. ¿Qué falla?
- Si \(X_1\) y \(X_2\) forman una muestra aleatoria de una variable discreta, ¿cuál afirmación es verdadera?
Después de esto
Referencias
- George Casella, Roger L. Berger, Statistical Inference, 2nd edition, Duxbury / Cengage, 2002. §5.1
- Ronald E. Walpole, Raymond H. Myers, Sharon L. Myers, Keying Ye, Probabilidad y estadística para ingeniería y ciencias, 9.ª edición, Pearson, 2012. §8.1
- Joseph K. Blitzstein, Jessica Hwang, Introduction to Probability, 2nd edition, CRC Press, 2019. §10.1