Función de densidad

Una variable continua toma valores en un intervalo, y cada valor aislado tiene probabilidad cero: \(P(X=a)=0\). Por eso la probabilidad se asigna a intervalos, y la densidad \(f\) es la función cuya área lo hace posible. Se interpreta como una concentración: donde \(f\) es grande, la variable cae con más frecuencia en intervalos cortos alrededor de ese punto.

Toda densidad cumple dos condiciones: \(f(x)\ge 0\) y \(\int_{-\infty}^{\infty}f(x)\,dx=1\). Cuando una densidad llega con una constante desconocida, como \(f(x)=kx\) en \([0,2]\), la segunda condición la determina: \(2k=1\). Como los puntos aislados no cuentan, \(P(a\le X\le b)\) y \(P(a<X<b)\) son iguales, a diferencia del caso discreto.

Una densidad no es una probabilidad y puede superar 1: \(f(x)=2\) en \([0,\tfrac12]\) tiene área 1. Lo que sí es una probabilidad es el área. Si \(f(x)=2x\) en \([0,1]\), entonces \(P(X\le\tfrac12)=\int_0^{1/2}2x\,dx=\tfrac14\). Un error típico es leer \(f(a)\) como \(P(X=a)\).

La densidad cumple para las variables continuas el papel que la función de masa cumple para las discretas, con integrales en lugar de sumas. Más adelante la función de distribución acumulada unifica ambos casos, y la integral de \(x\,f(x)\) define la esperanza continua.