Estimador

Un estimador es un procedimiento, no un número: antes de observar, \(\hat\theta=T(X_1,\dots,X_n)\) es una variable aleatoria con su propia distribución. Al aplicarlo a los datos concretos se obtiene la estimación, que sí es un número. Así, \(\bar X\) es un estimador de \(\mu\) y \(\bar x=7.2\) es una estimación.

Para juzgar un estimador se pregunta por su sesgo, \(E[\hat\theta]-\theta\), y por su variabilidad, \(\operatorname{Var}(\hat\theta)\). Es insesgado si el sesgo es cero: en promedio acierta. Ambas ideas se resumen en el error cuadrático medio, \(\mathrm{ECM}=\operatorname{Var}(\hat\theta)+\text{sesgo}^2\), que a veces permite preferir un estimador ligeramente sesgado pero mucho más estable.

Ejemplo guía: \(\bar X\) es insesgado para \(\mu\) y la varianza muestral \(S^2=\tfrac{1}{n-1}\sum(X_i-\bar X)^2\) lo es para \(\sigma^2\); dividir entre \(n\) en lugar de \(n-1\) lo sesgaría hacia abajo. Un estimador es consistente si se acerca al parámetro cuando \(n\) crece, algo que la ley de los grandes números garantiza para \(\bar X\).

Un error típico es pensar que un estimador insesgado es siempre el mejor: puede tener una varianza enorme, como \(X_1\) frente a \(\bar X\). Otro es olvidar que la estimación cambia de muestra en muestra; cuantificar esa incertidumbre es justo el papel de los intervalos de confianza y de las pruebas de hipótesis.