Series y residuos · Definición

Serie de Taylor compleja

análisis complejoseries

Antes de empezar necesitas conocer

Convierte una función holomorfa en una serie de potencias y dice exactamente hasta dónde vale ese desarrollo.

Definición

La serie de Taylor de una función \(f\) holomorfa en un disco \(|z-z_0|<R\) es la serie de potencias de \(z-z_0\), con centro \(z_0\), cuyos coeficientes \(a_n\) salen de las derivadas de \(f\) en \(z_0\).

\[f(z)=\sum_{n=0}^{\infty}a_n(z-z_0)^n,\quad a_n=\frac{f^{(n)}(z_0)}{n!}\]

Los coeficientes se obtienen con la fórmula integral de Cauchy: \(a_n=\frac1{2\pi i}\oint_{|\zeta-z_0|=r}\frac{f(\zeta)}{(\zeta-z_0)^{n+1}}d\zeta=\frac{f^{(n)}(z_0)}{n!}\). Desarrollando \(\frac1{\zeta-z}\) como serie geométrica dentro de la integral se prueba que la serie converge a \(f(z)\) para todo \(z\) del disco. Así, ser holomorfa equivale a ser analítica, lo que no ocurre en el caso real.

El radio de convergencia es la distancia de \(z_0\) a la singularidad más cercana de \(f\), no a una singularidad real. Por eso la serie de \(1/(1+x^2)\) en \(0\) converge solo para \(|x|<1\) aunque la función sea suave en toda la recta: los polos \(\pm i\) están a distancia \(1\). Cambiar el centro cambia el radio.

En la práctica casi nunca se derivan \(n\) veces: se parte de series conocidas (\(e^z\), \(\sin z\), \(\cos z\), \(\frac1{1-z}\)) y se sustituye, se multiplica o se deriva término a término. La serie es única: cualquier serie de potencias en \(z-z_0\) que represente a \(f\) cerca de \(z_0\) es su serie de Taylor.

De la serie salen los ceros: si \(a_0=\cdots=a_{m-1}=0\) y \(a_m\neq0\), el cero tiene orden \(m\). El caso en que \(f\) no es holomorfa en un disco, sino en un anillo, lo trata la serie de Laurent. Error típico: tomar el radio como \(\infty\) porque la función es derivable en el eje real.

Para pensar

¿Por qué la serie de Taylor de \(\frac1{1+x^2}\) en \(0\) diverge en \(x=2\) aunque la función está definida allí?

Porque el radio es \(1\): los polos \(\pm i\) están a distancia \(1\) del origen, y \(|2|>1\).

Si \(f\) es holomorfa en \(|z|<3\) salvo un polo en \(z=3\), ¿cuál es el radio en \(0\)?

Es \(3\), la distancia al polo.

Ejercicios 10

  1. El coeficiente de \(z^3\) en la serie de Taylor de \(e^z\) en \(z_0=0\) es:
  2. El coeficiente de \(z^5\) en la serie de Taylor de \(\sin z\) en \(0\) es:
  3. El radio de convergencia de la serie de Taylor de \(\dfrac1{1-z}\) en \(0\) es:
  4. ¿Cuál es el radio de convergencia de la serie de Taylor de \(\dfrac1{z^2+1}\) en \(z_0=0\)?
  5. ¿Y si el centro es \(z_0=2\)? El radio para \(\dfrac1{z^2+1}\) es:
  6. El coeficiente de \((z-1)^3\) en la serie de Taylor de \(1/z\) en \(z_0=1\) es:
  7. El radio de convergencia de la serie de Taylor de \(\tan z\) en \(0\) es:
  8. Si \(f\) es entera, su serie de Taylor en \(0\) converge a \(f(z)\):
  9. El coeficiente de \(z^4\) en la serie de Taylor de \(z^2e^z\) en \(0\) es:
  10. El coeficiente de \(z^3\) en la serie de Taylor de \(\dfrac{e^z}{1-z}\) en \(0\) es:

Después de esto

Referencias

  • Elias M. Stein, Rami Shakarchi, Complex Analysis, 1st edition, Princeton University Press, 2003. Cap. 2, §4.1
  • James Ward Brown, Ruel V. Churchill, Complex Variables and Applications, 9th edition, McGraw-Hill, 2014. §57
  • Lars V. Ahlfors, Complex Analysis, 3rd edition, McGraw-Hill, 1979. Cap. 4, §3.1