Derivadas · Definición
Recta tangente
Antes de empezar necesitas conocer
Una recta tangente aproxima la gráfica de \(f\) cerca de un punto, y su pendiente es la derivada en ese punto.
Definición
La recta tangente a la gráfica de \(f\) en el punto \((a,f(a))\) es la recta que pasa por ese punto con pendiente \(f^{\prime}(a)\). Es la mejor aproximación lineal de \(f\) cerca de \(a\).
La recta tangente en \((a,f(a))\) es la recta que mejor aproxima la gráfica cerca de ese punto. Su pendiente es \(f'(a)\), así que su ecuación es \(y=f(a)+f'(a)(x-a)\).
Por ejemplo, para \(f(x)=x^{2}\) en \(a=1\): \(f(1)=1\), \(f'(1)=2\) y la tangente es \(y=2x-1\).
Error típico: usar \(f'(x)\) en vez de \(f'(a)\), o escribir \(y=f'(a)(x-a)\) sin sumar \(f(a)\).
Para pensar
Encuentra la tangente a \(y=x^2\) en \(x=1\).
f(1)=1 y f’(1)=2, así que y = 1 + 2(x−1), es decir, y = 2x − 1.
Ejercicios 10
- Halla la ecuación de la recta tangente a \(f(x)=x^{2}\) en \(x=1\).
- Halla la ecuación de la recta tangente a \(f(x)=x^{3} - 2 x\) en \(x=2\).
- Halla la ecuación de la recta tangente a \(f(x)=\sqrt{x}\) en \(x=4\).
- Halla la ecuación de la recta tangente a \(f(x)=\frac{1}{x}\) en \(x=1\).
- Halla la ecuación de la recta tangente a \(f(x)=e^{x}\) en \(x=0\).
- Halla la ecuación de la recta tangente a \(f(x)=\ln{\left(x \right)}\) en \(x=1\).
- ¿Cuál es la pendiente de la recta tangente a \(f\) en \(x=a\)?
- ¿Por qué punto debe pasar la recta tangente a \(f\) en \(x=a\)?
- Halla la ecuación de la recta tangente a \(f(x)=x^{2}\ln(x)\) en \(x=1\).
- ¿Cuál es la recta tangente a la recta \(y=5x-2\) en cualquier punto de ella?
Referencias
- James Stewart, Calculus: Early Transcendentals, 8.ª edición, Cengage Learning, 2015.