Divergencia

Se calcula con el operador \(\nabla=\langle\partial_x,\partial_y,\partial_z\rangle\) tomando el producto punto formal con \(\mathbf F\): cada componente se deriva respecto de su propia variable y los tres resultados se suman. Por eso la divergencia de un campo de \(\mathbb R^3\) es un número en cada punto, no un vector, y en el plano basta sumar \(P_x+Q_y\).

La interpretación física es la de un fluido con velocidad \(\mathbf F\). Si \(\operatorname{div}\mathbf F(P)>0\), de un entorno pequeño de \(P\) sale más fluido del que entra y \(P\) funciona como fuente; si es negativa, como sumidero; si es cero, lo que entra es lo que sale y se dice que el campo es incompresible (o solenoidal) en \(P\). Ejemplo guía: \(\mathbf F=\langle x,y,z\rangle\) se aleja del origen en todas direcciones y tiene divergencia \(3\) en todas partes.

La divergencia no detecta giros: el campo \(\langle -y,x,0\rangle\) circula alrededor del eje \(z\) y sin embargo su divergencia es \(0\). Tampoco hay que confundirla con el gradiente, que va de escalares a vectores; aquí ocurre lo contrario. Es lineal, y para un escalar \(f\) por un campo vale \(\operatorname{div}(f\mathbf F)=\nabla f\cdot\mathbf F+f\operatorname{div}\mathbf F\).

Junto con el rotacional, completa los dos derivados básicos de un campo. Más adelante, el teorema de la divergencia iguala la integral triple de \(\operatorname{div}\mathbf F\) con el flujo a través de la frontera, y el teorema de Green en su forma de flujo es su versión plana.