Conjunto cerrado

«Cerrado» no es lo contrario de «abierto». Un conjunto puede ser abierto y cerrado a la vez, como \(\varnothing\) y \(X\) en cualquier topología, o ninguna de las dos cosas, como \([0,1)\) en \(\mathbb{R}\). En la topología discreta todo subconjunto es abierto y cerrado a la vez.

Por las leyes de De Morgan, los cerrados se comportan de forma dual a los abiertos: \(\varnothing\) y \(X\) son cerrados, la intersección de cualquier familia de cerrados es cerrada y la unión de un número finito de cerrados es cerrada. Con uniones infinitas falla: \(\bigcup_{n\ge1}[1/n,1]=(0,1]\) no es cerrado en \(\mathbb{R}\). De hecho, una topología puede definirse dando directamente su familia de cerrados con esas tres propiedades.

En un espacio métrico, \(C\) es cerrado exactamente cuando contiene los límites de todas sus sucesiones convergentes; así, \([a,b]\) lo es y \((a,b)\) no. En un espacio topológico general esta idea se formaliza con la cerradura y los puntos de acumulación.

Un error típico es creer que un conjunto «sin frontera» o «con borde» decide por sí solo si es cerrado: lo único que cuenta es si el complemento es un abierto de la topología elegida. El mismo conjunto puede ser cerrado en una topología y no serlo en otra.