Eliminación gaussiana

Resolver un sistema por sustitución funciona con dos o tres incógnitas, pero se vuelve inmanejable pronto. La eliminación gaussiana, que Gauss usó para cálculos astronómicos y que ya aparece en textos chinos antiguos, ordena el trabajo: se usa la primera ecuación para eliminar la primera incógnita de todas las demás, luego la segunda para eliminar la segunda, y así hasta obtener un sistema escalonado fácil de resolver desde abajo hacia arriba.

Las tres operaciones elementales (intercambiar filas, escalar una fila, sumar un múltiplo de otra) son reversibles, y por eso no alteran las soluciones: el sistema final es equivalente al original. Cada pivote es la primera entrada no nula de una fila; si en algún paso un pivote vale cero se intercambian filas. Si aparece una fila \((0\ \cdots\ 0\mid b)\) con \(b\neq0\), el sistema es incompatible; si sobran incógnitas sin pivote, quedan variables libres y hay infinitas soluciones.

Ejemplo guía: de \(\left[\begin{array}{cc|c}1&1&3\\2&-1&0\end{array}\right]\), restar dos veces la fila 1 a la fila 2 da \(-3y=-6\), luego \(y=2\) y \(x=1\). Un error común es olvidar aplicar la operación también a la columna de términos independientes. Más adelante veremos que cada paso equivale a multiplicar por una matriz elemental. Las operaciones elementales de fila (intercambiar dos filas, multiplicar una por un escalar no nulo, sumar a una fila un múltiplo de otra) no cambian el conjunto solución.