Espacios vectoriales · Definición

Vector en ℝⁿ

álgebra linealespacios vectoriales

Antes de hablar de espacios abstractos conviene dominar el caso concreto: las listas de números que se suman y se escalan.

Definición

Un vector en \(\mathbb{R}^n\) es una lista ordenada de \(n\) números reales, que geométricamente se ve como una flecha desde el origen.

\[x=(x_1,\dots,x_n),\quad cx=(cx_1,\dots,cx_n)\]

La idea de vector nace de dos fuentes: la física, donde una fuerza o una velocidad tiene magnitud y dirección, y los datos, donde una lista de mediciones se trata como un solo objeto. En ambos casos lo que importa es poder combinar objetos: sumarlos y estirarlos. Los libros de texto, como el de Strang, parten del plano \(\mathbb{R}^2\) y de ahí pasan a \(\mathbb{R}^3\) y a \(\mathbb{R}^n\).

Se define por componentes: \((1,2,3)+(4,-1,0)=(5,1,3)\) y \(3(2,-1,4)=(6,-3,12)\). Estas dos operaciones son todo lo que el álgebra lineal necesita; las demás nociones (longitud, producto punto) son extras que dependen de la geometría. Un ejemplo guía útil: el vector \((3,4)\) es la flecha que llega al punto \((3,4)\), y \(2(3,4)=(6,8)\) es la misma flecha estirada al doble.

Errores típicos: sumar vectores de distinto tamaño (\((1,2)+(1,2,3)\) no existe), confundir el escalar \(0\) con el vector cero \((0,\dots,0)\), y escalar solo una componente. Aquí aparecen también la norma \(\|x\|=\sqrt{x_1^2+\cdots+x_n^2}\) y el producto punto, que miden longitudes y ángulos.

Este concepto se conecta con los anteriores: una matriz de \(n\) filas y una columna es un vector, y un sistema lineal pide escribir un vector como combinación de columnas. El siguiente paso, el espacio vectorial, conserva solo las propiedades de la suma y el escalar y olvida que los objetos sean listas. Recuerda que los vectores se suman componente a componente, \(x+y=(x_i+y_i)\), y se multiplican por un escalar \(c\) multiplicando cada componente, \(cx=(cx_i)\).

Para pensar

¿Por qué \((1,2)+(1,2,3)\) no está definido?

Porque la suma es componente a componente y los vectores tienen distinto número de componentes: pertenecen a espacios distintos, \(\mathbb{R}^2\) y \(\mathbb{R}^3\).

¿El número \(0\) y el vector \((0,0)\) son lo mismo?

No. El primero es un escalar y el segundo el vector cero de \(\mathbb{R}^2\); aunque \(0\cdot x=(0,0)\), son objetos de distinto tipo.

Ejercicios 10

  1. Calcula \(u+v\) para \(u=(1,2,3)\) y \(v=(4,-1,0)\).
  2. Calcula \(3\cdot(2,-1,4)\).
  3. Si \(u=(1,0,-2)\) y \(v=(3,1,1)\), calcula \(2u-v\).
  4. Calcula la norma \(\|x\|\) de \(x=(3,4,12)\).
  5. Calcula el producto punto \((1,2,3)\cdot(4,-5,6)\).
  6. ¿A cuál espacio \(\mathbb{R}^n\) pertenece \((1,0,-2,5)\)?
  7. Si \((x,2,1)+(3,y,-1)=(5,0,0)\), ¿cuál es el par \((x,y)\)?
  8. ¿Qué escalares \((c_1,c_2)\) cumplen \(c_1(1,2)+c_2(3,-1)=(5,3)\)?
  9. ¿Para qué valor de \(k\) son ortogonales \((1,2,-1)\) y \((k,1,4)\)?
  10. Para \(u=(1,2)\) y \(v=(3,-1)\), calcula \(\|u+v\|^2\).

Referencias

  • Gilbert Strang, Introduction to Linear Algebra, 6th edition, Wellesley-Cambridge Press, 2023. §1.1
  • Sheldon Axler, Linear Algebra Done Right, 4th edition, Springer, 2024. §1.A