Espacio vectorial

Tras trabajar con vectores de \(\mathbb{R}^n\) se observa que muchos otros objetos se suman y se escalan igual: matrices, polinomios, funciones continuas. Axler y Strang proceden así: se listan las propiedades que de verdad se usan y se llama espacio vectorial a todo conjunto que las cumple. Lo que se demuestre con esos axiomas valdrá a la vez para todos los ejemplos.

Un ejemplo guía: los polinomios de grado \(\le 2\) forman un espacio, con vector cero el polinomio \(0\) y con \(-p\) como inverso de \(p\). En cambio los polinomios de grado exactamente 2 no, porque \((t^2+t)+(-t^2+1)=t+1\) se sale del conjunto. Otro ejemplo extraño: en \(\mathbb{R}_{>0}\) con \(u\oplus v=uv\) y \(c\odot u=u^c\), el vector cero es el número \(1\).

Errores típicos: pensar que el vector cero siempre es \((0,\dots,0)\) (depende del espacio), comprobar solo un par de axiomas, o confundir el escalar \(0\) con el vector cero. Las consecuencias inmediatas, como \(0v=0\) y \((-1)v=-v\), se deducen de los axiomas.

Se conecta con lo anterior porque \(\mathbb{R}^n\) es el primer ejemplo, y con lo que sigue: el subespacio vectorial pregunta cuándo un subconjunto de un espacio vectorial es, con las mismas operaciones, un espacio por sí mismo. Los ocho axiomas son: conmutatividad y asociatividad de la suma, existencia del vector cero y del inverso aditivo \(-v\), \(1v=v\), \(c(dv)=(cd)v\) y las dos distributividades.