Norma de un vector

La norma cumple tres reglas básicas: \(\|v\|\ge0\) y vale cero solo para el vector cero; \(\|cv\|=|c|\,\|v\|\), de modo que multiplicar por un escalar estira o encoge la longitud; y la desigualdad triangular \(\|u+v\|\le\|u\|+\|v\|\), que dice que ir en línea recta nunca es más largo que dar un rodeo. La igualdad se da solo si los vectores apuntan en el mismo sentido.

Calcular una norma es aplicar el teorema de Pitágoras en varias coordenadas. Por ejemplo, \(\|(1,2,2)\|=\sqrt{1+4+4}=3\). Al dividir un vector no nulo entre su norma se obtiene un vector unitario con la misma dirección: \(\tfrac{1}{5}(3,-4)\) es el unitario de \((3,-4)\). La distancia entre dos puntos \(x\) y \(y\) es \(\|x-y\|\).

Al desarrollar \(\|u+v\|^2=\|u\|^2+2\,u\cdot v+\|v\|^2\) aparece el término cruzado \(2\,u\cdot v\), que desaparece justo cuando \(u\cdot v=0\); eso conduce al concepto de ortogonalidad y al teorema de Pitágoras en \(\mathbb{R}^n\). Un error típico es olvidar la raíz y dar \(x\cdot x\) como si fuera la norma, o suponer que \(\|u+v\|=\|u\|+\|v\|\) siempre.