Sistemas y matrices · Definición

Producto de matrices

álgebra linealmatrices

Antes de empezar necesitas conocer

El producto de matrices combina filas con columnas y corresponde a aplicar una transformación después de otra.

Definición

El producto \(AB\) de dos matrices \(A\) y \(B\), cuando \(A\) tiene tantas columnas como filas \(B\), es la matriz cuya entrada \((i,j)\) combina la fila \(i\) de \(A\) con la columna \(j\) de \(B\).

\[(AB)_{ij}=\sum_{k=1}^{n}a_{ik}b_{kj}\]

La definición del producto de matrices parece caprichosa la primera vez: ¿por qué «fila por columna»? La razón es que debe corresponder a la composición de transformaciones. Si \(B\) convierte vectores de \(\mathbb R^p\) en vectores de \(\mathbb R^n\) y \(A\) los lleva de \(\mathbb R^n\) a \(\mathbb R^m\), entonces \(AB\) es la máquina que hace ambos pasos seguidos. La regla de fila por columna es justo lo que hace que esto funcione.

De ahí salen las condiciones de tamaño: las columnas de \(A\) deben igualar las filas de \(B\), pues la salida de \(B\) tiene que caber en la entrada de \(A\). También se explica por qué en general \(AB\neq BA\): hacer primero un giro y luego una reflexión no da lo mismo que hacerlo al revés. Lo que sí se conserva es la asociatividad, \((AB)C=A(BC)\), pues componer funciones es asociativo.

Ejemplo guía: con \(A=\begin{pmatrix}1&2\\0&1\end{pmatrix}\) y \(B=\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}\), se tiene \(AB=\begin{pmatrix}2&1\\1&0\end{pmatrix}\) pero \(BA=\begin{pmatrix}0&1\\1&2\end{pmatrix}\). Un error típico es multiplicar entrada por entrada; eso es otra operación (el producto de Hadamard). Este producto es la base de la matriz inversa y de la eliminación en forma matricial. En general el producto no es conmutativo: \(AB\neq BA\), aunque sí es asociativo y distributivo.

Para pensar

Si \(AB=0\), ¿se sigue que \(A=0\) o \(B=0\)?

No. Por ejemplo, \(\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}^2=0\) aunque la matriz no es nula.

Ejercicios 10

  1. Si \(A\) es de tamaño \(2\times 3\) y \(B\) es de tamaño \(3\times 4\), ¿de qué tamaño es \(AB\)?
  2. Calcula \(AB\) con \(A=\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}\) y \(B=\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}\).
  3. Sean \(A\) de tamaño \(3\times 4\) y \(B\) de tamaño \(4\times 2\). ¿Cuál de los productos está definido?
  4. Con \(A=\begin{pmatrix}2&-1\\0&3\end{pmatrix}\) y \(B=\begin{pmatrix}1&4\\5&2\end{pmatrix}\), ¿cuánto vale la entrada \((AB)_{21}\)?
  5. Con \(A=\begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix}\) y \(B=\begin{pmatrix}1&0\\1&1\end{pmatrix}\), calcula \(AB-BA\).
  6. Si \(I\) es la identidad \(2\times 2\) y \(A=\begin{pmatrix}3&-2\\1&5\end{pmatrix}\), ¿cuánto es \(AI\)?
  7. Calcula \(A\mathbf v\) con \(A=\begin{pmatrix}1&2&0\\0&1&-1\end{pmatrix}\) y \(\mathbf v=\begin{pmatrix}2\\1\\3\end{pmatrix}\).
  8. ¿Cuál de estas igualdades es verdadera para matrices \(A,B,C\) cuyos productos están definidos?
  9. Calcula \(A^2\) para \(A=\begin{pmatrix}1&1\\1&0\end{pmatrix}\).
  10. ¿Qué par de matrices \(A,B\), ambas distintas de cero, cumple \(AB=0\)?

Referencias

  • Gilbert Strang, Introduction to Linear Algebra, 6th edition, Wellesley-Cambridge Press, 2023. §2.4
  • Sheldon Axler, Linear Algebra Done Right, 4th edition, Springer, 2024. §3.C