Espacios vectoriales · Definición

Subespacio vectorial

álgebra linealespacios vectoriales

Antes de empezar necesitas conocer

Los espacios vectoriales grandes contienen pedazos que se comportan como espacios por sí mismos; reconocerlos permite describir soluciones y trabajar con partes más pequeñas.

Definición

Un subespacio vectorial \(W\) de un espacio vectorial \(V\) es un subconjunto no vacío que, con las mismas operaciones, es en sí mismo un espacio vectorial.

\[0\in W,\quad u,v\in W\Rightarrow u+v\in W,\quad c\in\mathbb{R},\ v\in W\Rightarrow cv\in W\]

Para saber si un subconjunto \(W\) de \(V\) es subespacio no hace falta revisar los ocho axiomas, porque se heredan de \(V\). Basta comprobar tres cosas: que \(W\) no sea vacío (en la práctica, que contenga al vector cero), que la suma de dos elementos de \(W\) siga en \(W\) y que cualquier múltiplo de un elemento de \(W\) siga en \(W\). Las dos últimas se resumen diciendo que \(W\) es cerrado bajo las operaciones.

Un primer filtro es el vector cero: si \(0\notin W\), el conjunto no es subespacio, porque \(0=0\cdot v\) tendría que estar. Así, la recta \(y=2x\) pasa por el origen y es subespacio, mientras que la recta \(x+y=1\) no lo es. Pero contener al cero no basta: el conjunto \(\{(x,y): x\ge 0\}\) lo contiene y aun así falla al multiplicar por \(-1\).

Los ejemplos típicos son las rectas y planos por el origen en \(\mathbb{R}^n\), el conjunto \(\{0\}\) y el propio \(V\) (los subespacios triviales), los polinomios que se anulan en un punto fijo y las funciones con \(f(0)=0\). En general, las soluciones de una ecuación homogénea forman un subespacio, mientras que las de una ecuación con lado derecho no nulo, no.

Dos errores frecuentes: creer que la unión de subespacios es subespacio (los dos ejes de \(\mathbb{R}^2\) lo desmienten, pues \((1,0)+(0,1)\) queda fuera) y olvidar que la intersección sí lo es siempre. Este concepto prepara el siguiente: el span de unos vectores es el subespacio más pequeño que los contiene.

Para pensar

¿Es \(\{(x,y,z): x+y+z=0\}\) un subespacio de \(\mathbb{R}^3\)? ¿Y \(\{(x,y,z): x+y+z=0\ \text{o}\ x=0\}\)?

El primero sí: contiene a \(0\) y la ecuación homogénea se conserva al sumar y al multiplicar por escalares. El segundo no: \((1,-1,0)\) y \((0,1,1)\) están en él, pero su suma \((1,0,1)\) no cumple ninguna de las dos condiciones.

¿Puede un subespacio de un espacio vectorial real tener exactamente dos elementos?

No. Si contiene a \(v\ne 0\) contiene a todos los múltiplos \(cv\), que son infinitos; por eso un subespacio es \(\{0\}\) o es infinito.

Ejercicios 10

  1. ¿Cuál de estos conjuntos es un subespacio de \(\mathbb{R}^2\)?
  2. Un subconjunto \(W\) de un espacio vectorial \(V\) es subespacio si y solo si…
  3. Sea \(W=\{(x,y,z): x+y+z=0\}\). ¿Cuál de estos vectores pertenece a \(W\)?
  4. ¿Por qué \(\{(x,y): x+y=1\}\) no es un subespacio de \(\mathbb{R}^2\)?
  5. ¿Cuál de estos subconjuntos de \(\mathbb{R}^3\) NO es un subespacio?
  6. Dentro del espacio de funciones \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), ¿cuál conjunto es un subespacio?
  7. Sean \(U=\{(x,y,z): x=2y\}\) y \(W=\{(x,y,z): z=0\}\). ¿Cómo son los vectores de \(U\cap W\)?
  8. En el espacio de polinomios de grado menor o igual que 2, ¿cuál conjunto es un subespacio?
  9. Sean \(U\) el eje \(x\) y \(W\) el eje \(y\) en \(\mathbb{R}^2\). ¿Por qué \(U\cup W\) no es un subespacio?
  10. Si \(W\) es un subespacio de \(V\) y \(W\) contiene a un vector \(v\ne 0\), ¿cuántos elementos tiene \(W\)?

Referencias

  • Gilbert Strang, Introduction to Linear Algebra, 6th edition, Wellesley-Cambridge Press, 2023. §3.1
  • Sheldon Axler, Linear Algebra Done Right, 4th edition, Springer, 2024. §1.C
  • David C. Lay, Steven R. Lay, Judi J. McDonald, Linear Algebra and Its Applications, 6th edition, Pearson, 2021. §4.1