Base y dimensión

Una base cumple dos cosas a la vez: genera (todo vector se alcanza) y es independiente (nada sobra). Por eso cada vector se escribe de una única manera como \(v=a_1v_1+\cdots+a_nv_n\); los números \(a_i\) son sus coordenadas en esa base. La base canónica de \(\mathbb{R}^n\) es \(e_1,\dots,e_n\), donde \(e_i\) tiene un 1 en la posición \(i\) y ceros en las demás.

Un espacio tiene muchas bases, pero todas tienen el mismo número de vectores; ese número es la dimensión. Así, \(\dim\mathbb{R}^n=n\), los polinomios de grado a lo más \(3\) tienen dimensión \(4\) (base \(1,x,x^2,x^3\)) y las matrices \(2\times 3\) tienen dimensión \(6\). El espacio \(\{0\}\) tiene dimensión \(0\).

La dimensión simplifica las verificaciones: en un espacio de dimensión \(n\), un conjunto de \(n\) vectores es base si es independiente o si genera; basta una de las dos condiciones. Además, un subespacio nunca tiene dimensión mayor que el espacio, y solo la iguala si es todo el espacio. Para hallar una base de un span se descartan los vectores que sean combinación de los anteriores.

Error típico: confundir la dimensión con el número de vectores de un conjunto cualquiera. \(\{(1,0),(2,0),(0,1)\}\) tiene tres vectores, pero genera \(\mathbb{R}^2\) y su dimensión es \(2\). La dimensión del espacio columna de una matriz es su rango.