Espacio propio

Si \(v\) es un vector propio de \(\lambda\), cualquier múltiplo no nulo de \(v\) también lo es, y lo mismo ocurre con la suma de dos vectores propios del mismo \(\lambda\) (si no se anula). Por eso conviene reunirlos en un conjunto con el cero: el resultado es un subespacio, el núcleo de \(A-\lambda I\). Se agrega el cero a la fuerza porque el cero nunca es vector propio, pero un subespacio debe contenerlo.

Calcular un espacio propio es resolver un sistema homogéneo. Para \(A=\begin{pmatrix}4&1\\2&3\end{pmatrix}\) y \(\lambda=5\), el sistema \((A-5I)v=0\) se reduce a \(-x+y=0\), y el espacio propio es la recta generada por \((1,1)\). Su dimensión, llamada multiplicidad geométrica, es \(n-\operatorname{rango}(A-\lambda I)\) y satisface \(1\le \dim E_\lambda\le\) la multiplicidad de \(\lambda\) como raíz del polinomio característico.

Un error típico es sumar vectores propios de valores distintos esperando obtener otro vector propio: no ocurre, porque la suma ya no está en ninguno de los dos espacios. Lo que sí es cierto es que los espacios propios de valores distintos solo comparten el cero y que vectores propios de valores distintos son independientes. Esa independencia, junto con las dimensiones de los espacios propios, decidirá en el siguiente concepto si una matriz puede diagonalizarse. Dicho de otra forma, \(E_\lambda\) es el núcleo de \(A-\lambda I\): el conjunto de soluciones de \((A-\lambda I)x=0\), donde \(I\) es la identidad del mismo tamaño que \(A\).