Espacios vectoriales · Definición

Rango de una matriz

álgebra linealespacios vectoriales

Antes de empezar necesitas conocer

El rango cuenta cuántas direcciones realmente independientes hay en una matriz; resume cuánta información contiene y decide si un sistema tiene solución única.

Definición

El rango de una matriz \(A\) es la dimensión del subespacio generado por sus columnas.

\[\operatorname{rango}(A)=\dim\operatorname{col}(A)\]

El espacio generado por las columnas de \(A\) se llama espacio columna, \(\operatorname{col}(A)\), y su dimensión es el rango. Para calcularlo se escalona la matriz: el rango es el número de pivotes. Las columnas con pivote forman una base del espacio columna, y las columnas sin pivote son combinaciones de ellas.

Un hecho notable es que el rango por filas y el rango por columnas coinciden: el número de filas independientes es igual al de columnas independientes. Por eso el rango de una matriz de \(m\times n\) cumple \(\operatorname{rango}(A)\le\min(m,n)\), y cuando alcanza ese valor se dice que la matriz tiene rango completo.

El rango gobierna los sistemas lineales. El sistema \(Ax=b\) tiene solución exactamente cuando \(b\) está en el espacio columna, es decir, cuando añadir \(b\) como columna no aumenta el rango. Si además el rango es igual al número de incógnitas, la solución es única; si es menor, hay variables libres y por tanto infinitas soluciones.

Error típico: pensar que el rango es el número de entradas distintas de cero o de filas no nulas de la matriz original. Hay que escalonar primero: la matriz \(\begin{pmatrix}1&2\\2&4\end{pmatrix}\) no tiene ceros ni filas nulas, pero su rango es 1. Para una matriz cuadrada de \(n\times n\), rango \(n\) equivale a ser invertible.

Para pensar

Una matriz de \(5\times 3\) tiene rango 3. ¿Puede el sistema \(Ax=b\) tener infinitas soluciones?

No: con rango 3 hay un pivote por cada columna, así que no quedan variables libres. Tiene a lo más una solución.

Si todas las filas de \(A\) son múltiplos de una sola fila no nula, ¿cuál es su rango?

1: solo hay una fila independiente, y el rango por filas coincide con el rango por columnas.

Ejercicios 10

  1. ¿Cuál es el rango de \(\begin{pmatrix}1&2\\2&4\end{pmatrix}\)?
  2. ¿Cuál es el rango de la matriz identidad \(I_3\)?
  3. ¿Cuál es el máximo rango posible de una matriz de \(3\times 5\)?
  4. ¿Cuál es el rango de la matriz cero de \(2\times 2\)?
  5. Calcula el rango de \(\begin{pmatrix}1&2&3\\4&5&6\\7&8&9\end{pmatrix}\).
  6. Calcula el rango de \(\begin{pmatrix}1&0&2\\0&1&3\\1&1&5\end{pmatrix}\).
  7. ¿Cuántas filas linealmente independientes tiene como máximo \(A=\begin{pmatrix}1&2&0&1\\0&0&1&3\\1&2&1&4\end{pmatrix}\)?
  8. Una matriz \(A\) de \(4\times 4\) tiene rango 3. ¿Cuál afirmación es verdadera?
  9. Calcula el rango de \(\begin{pmatrix}1&2&1\\2&4&3\\1&2&2\end{pmatrix}\).
  10. ¿Para qué valor de \(k\) la matriz \(\begin{pmatrix}1&2\\3&k\end{pmatrix}\) tiene rango 1?

Referencias

  • Gilbert Strang, Introduction to Linear Algebra, 6th edition, Wellesley-Cambridge Press, 2023. §3.2 y §3.4
  • Sheldon Axler, Linear Algebra Done Right, 4th edition, Springer, 2024. §3.F
  • David C. Lay, Steven R. Lay, Judi J. McDonald, Linear Algebra and Its Applications, 6th edition, Pearson, 2021. §2.9 y §4.6