Determinantes · Definición

Propiedades del determinante

álgebra linealdeterminantes

Antes de empezar necesitas conocer

Las propiedades del determinante permiten calcularlo sin desarrollar cofactores: basta seguir cómo lo afectan las operaciones elementales entre filas.

Definición

Las propiedades del determinante dicen cómo cambia \(\det A\) ante las operaciones elementales de fila y cómo se comporta con el producto de dos matrices \(A\) y \(B\) y con la transpuesta \(A^T\).

\[\det(AB)=\det A\,\det B,\quad \det A^{T}=\det A\]

Calcular un determinante grande con cofactores es lentísimo: el número de términos crece como \(n!\). La salida es observar qué le hace cada operación elemental de fila al determinante y aprovecharlo: se reduce la matriz a forma triangular, se lleva la cuenta de los cambios y al final basta multiplicar la diagonal. Las propiedades, entonces, no son curiosidades sueltas sino un algoritmo disfrazado.

Hay tres reglas básicas, una por cada operación elemental. Intercambiar dos filas cambia el signo; multiplicar una fila por \(k\) multiplica el determinante por \(k\); sumar a una fila un múltiplo de otra no lo altera. De ellas se deduce que dos filas iguales o proporcionales dan \(0\), porque al restarlas aparece una fila nula. Las reglas que involucran toda la matriz, \(\det(AB)=\det A\,\det B\) y \(\det A^T=\det A\), explican por qué todo lo dicho de filas vale también para columnas.

Ejemplo guía: si \(A\) es \(3\times3\) con \(\det A=2\), entonces \(\det(3A)=3^3\cdot2=54\), no \(6\), porque cada una de las tres filas se multiplica por \(3\). Dos errores típicos: creer que \(\det(A+B)=\det A+\det B\) (es falso en general; el determinante no es lineal en la matriz completa, solo en cada fila por separado) y olvidar el cambio de signo al intercambiar filas durante la reducción. Estas propiedades preparan la regla de Cramer y el criterio de invertibilidad: \(\det A\neq0\) si y solo si \(A\) es invertible.

Para pensar

Si \(\det A=4\) y \(A\) es invertible, ¿cuánto vale \(\det(A^{-1}A^T)\)?

Vale \(1\). Como \(\det(A^{-1})=1/4\) y \(\det A^T=\det A=4\), el producto de determinantes es \(\tfrac14\cdot4=1\).

¿Por qué una matriz con dos filas proporcionales tiene determinante \(0\)?

Al restar a una fila el múltiplo adecuado de la otra (operación que no cambia el determinante) aparece una fila de ceros, y un determinante con una fila nula es \(0\).

Ejercicios 10

  1. Sea \(A\) una matriz \(3\times3\) con \(\det A=5\). Se obtiene \(B\) intercambiando dos filas de \(A\). ¿Cuánto vale \(\det B\)?
  2. Si \(\det A=4\) y \(B\) se obtiene multiplicando una sola fila de \(A\) por \(3\), ¿cuánto vale \(\det B\)?
  3. Sea \(A\) de tamaño \(3\times3\) con \(\det A=2\). Calcula \(\det(2A)\).
  4. Calcula \(\det A\) para \(A=\begin{pmatrix}1 & 2 & 3\\ 2 & 4 & 6\\ 7 & 8 & 10\end{pmatrix}\) sin desarrollar por completo.
  5. Si \(A\) y \(B\) son matrices \(3\times3\) con \(\det A=3\) y \(\det B=-2\), ¿cuánto vale \(\det(AB)\)?
  6. Sea \(A\) una matriz invertible \(2\times2\) con \(\det A=6\). Calcula \(\det(3A^{-1})\).
  7. Calcula \(\det A\) para \(A=\begin{pmatrix}2 & 5 & 1\\ 0 & -3 & 4\\ 0 & 0 & 5\end{pmatrix}\).
  8. Si \(\det A=-3\) y \(B\) resulta de sumar a la fila 2 de \(A\) cuatro veces la fila 1, ¿cuánto vale \(\det B\)?
  9. Sea \(A\) una matriz real cuadrada con \(A^2=I\). ¿Qué valores puede tomar \(\det A\)?
  10. Sea \(A\) una matriz \(3\times3\) con \(A^T=-A\). ¿Cuánto vale \(\det A\)?

Referencias

  • Gilbert Strang, Introduction to Linear Algebra, 6th edition, Wellesley-Cambridge Press, 2023. §5.1
  • Sheldon Axler, Linear Algebra Done Right, 4th edition, Springer, 2024. §10.B