Polinomio característico

El número \(\lambda\) es valor propio de \(A\) cuando \((A-\lambda I)v=0\) tiene una solución \(v\neq0\), y eso ocurre exactamente cuando \(A-\lambda I\) no es invertible, es decir, cuando \(\det(A-\lambda I)=0\). Por tanto, los valores propios de \(A\) son las raíces de \(p_A(\lambda)=\det(A-\lambda I)\).

Para una matriz \(2\times2\) con entradas \(a,b,c,d\), \(p_A(\lambda)=\lambda^2-(a+d)\lambda+(ad-bc)\): el coeficiente de \(\lambda\) es el opuesto de la suma de la diagonal y el término independiente es \(\det A=p_A(0)\). Ejemplo: para \(A=\begin{pmatrix}2&1\\1&2\end{pmatrix}\), \(p_A(\lambda)=\lambda^2-4\lambda+3=(\lambda-1)(\lambda-3)\), así que los valores propios son 1 y 3.

Para una matriz \(n\times n\), \(p_A\) tiene grado \(n\), de modo que hay a lo sumo \(n\) valores propios distintos. Si la matriz es triangular, \(p_A\) es el producto de los factores \((a_{ii}-\lambda)\) y los valores propios son las entradas de la diagonal. Algunas raíces pueden ser complejas: la rotación \(\begin{pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix}\) tiene \(p_A(\lambda)=\lambda^2+1\), sin raíces reales. Una raíz repetida, como en \(\begin{pmatrix}2&1\\0&2\end{pmatrix}\) con \(p_A(\lambda)=(2-\lambda)^2\), cuenta como un solo valor propio.

Errores típicos: restar \(\lambda\) a toda la matriz en lugar de solo a la diagonal (es \(A-\lambda I\)), equivocar un signo al desarrollar el determinante y confundir el polinomio con sus raíces. Algunos libros definen \(p_A\) como \(\det(\lambda I-A)\); difiere de esta versión por el factor \((-1)^n\) y tiene las mismas raíces.