Independencia lineal

Siempre se cumple que la combinación con todos los coeficientes cero da \(0\); la pregunta es si hay otra. Si la hay, el conjunto es linealmente dependiente. Por ejemplo, \(\{(1,2),(2,4)\}\) es dependiente porque \(2(1,2)-(2,4)=0\), mientras que \(\{(1,0),(0,1)\}\) es independiente: \(c_1(1,0)+c_2(0,1)=(c_1,c_2)=0\) obliga a \(c_1=c_2=0\).

Para decidirlo en \(\mathbb{R}^n\) se plantea el sistema homogéneo \(c_1v_1+\cdots+c_kv_k=0\) y se aplica eliminación gaussiana: el conjunto es independiente exactamente cuando la única solución es la trivial. Como consecuencia, más de \(n\) vectores en \(\mathbb{R}^n\) siempre son dependientes, pues hay más incógnitas que ecuaciones.

Dependiente significa que al menos un vector es combinación lineal de los demás: se puede despejar de una relación no trivial y quitarlo sin cambiar el span. Un conjunto que contiene al vector cero es siempre dependiente, y dos vectores son dependientes exactamente cuando uno es múltiplo del otro.

Error típico: creer que basta revisar los vectores por pares. Los vectores \((1,0,1)\), \((0,1,1)\) y \((1,1,2)\) no tienen dos proporcionales, pero son dependientes porque el tercero es la suma de los dos primeros. La independencia, junto con el span, define la base.