Vectores ortogonales

En el plano, \(u\cdot v=\|u\|\|v\|\cos\theta\) se anula con normas positivas solo si \(\cos\theta=0\), es decir, a \(90^\circ\). En \(\mathbb{R}^n\) ese cálculo se toma como definición, y no hace falta dibujar nada. El vector cero es ortogonal a todos, porque \(0\cdot v=0\) para cualquier \(v\); es el único vector ortogonal a sí mismo, pues \(u\cdot u=\|u\|^2\).

La consecuencia más usada es el teorema de Pitágoras: si \(u\perp v\), entonces \(\|u+v\|^2=\|u\|^2+\|v\|^2\), ya que el término cruzado \(2\,u\cdot v\) desaparece. Por ejemplo, \((1,2)\) y \((-2,1)\) son ortogonales porque \(-2+2=0\), y en el plano un vector ortogonal a \((a,b)\) siempre se obtiene girando: \((-b,a)\).

Los vectores ortogonales a un \(u\) fijo y no nulo forman un subespacio: la ecuación \(u\cdot x=0\) es lineal y homogénea. En \(\mathbb{R}^3\) es un plano por el origen; en \(\mathbb{R}^2\), una recta. Un error común es creer que ortogonal y linealmente independiente son lo mismo: \((1,0)\) y \((1,1)\) son independientes pero no ortogonales. Lo que sí es cierto es que vectores no nulos y ortogonales entre sí siempre son independientes.

Esta noción es el paso previo a proyectar un vector sobre otro: el residuo de una proyección es justamente un vector ortogonal. Más adelante servirá para construir bases formadas por vectores perpendiculares entre sí, donde las coordenadas se calculan con un simple producto punto.