Matriz inversa

Con números, resolver \(ax=b\) es multiplicar por \(1/a\). Con matrices queremos algo parecido para \(A\mathbf{x}=\mathbf{b}\): una matriz \(A^{-1}\) que, al multiplicar por la izquierda, deshaga el efecto de \(A\). La condición \(AA^{-1}=A^{-1}A=I\) dice exactamente eso: aplicar \(A\) y después \(A^{-1}\) (o al revés) deja cada vector donde estaba.

No todas las matrices tienen inversa, igual que el número 0 no tiene recíproco. Si \(A\) aplasta algún vector no nulo hasta el cero, o si sus filas son dependientes, la información se pierde y nada puede recuperarla. Por eso el método de \([A\,|\,I]\) es también una prueba: si la eliminación produce una fila de ceros, la matriz no es invertible.

Ejemplo guía: para \(A=\begin{pmatrix}1&2\\3&5\end{pmatrix}\) se reduce \([A\,|\,I]\) y se obtiene \(A^{-1}=\begin{pmatrix}-5&2\\3&-1\end{pmatrix}\). Un error típico es invertir entrada por entrada (poner \(1/a_{ij}\)); otro es olvidar que \((AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1}\), con el orden invertido. En la práctica casi nunca se calcula \(A^{-1}\) para resolver un sistema: la eliminación es más barata, pero la inversa es clave en la teoría y se conecta con el determinante, que será distinto de cero justo cuando exista. Cuando la inversa existe, es única.