Transformaciones lineales · Definición
Teorema del rango y la nulidad
Antes de empezar necesitas conocer
Este teorema reparte la dimensión del dominio entre lo que la transformación destruye y lo que conserva, y permite calcular una de las dos cantidades conociendo la otra.
Definición
Para una transformación lineal \(T\) con dominio \(V\) de dimensión finita, la dimensión del núcleo más la de la imagen es igual a la dimensión de \(V\).
A la dimensión del núcleo se le llama nulidad y a la de la imagen, rango. Para una matriz \(A\) de \(m\times n\), vista como \(T(x)=Ax\), el dominio es \(\mathbb{R}^n\) y el teorema se lee \(\text{rango}(A)+\text{nulidad}(A)=n\): el número de columnas se reparte entre las columnas pivote (que cuentan el rango) y las variables libres (que cuentan la nulidad).
La idea de la demostración es completar una base. Se toma una base \(u_1,\dots,u_k\) del núcleo y se extiende a una base \(u_1,\dots,u_k,w_1,\dots,w_r\) del dominio. Los vectores \(T(w_1),\dots,T(w_r)\) forman una base de la imagen: generan porque los \(u_i\) se anulan, y son independientes porque una relación entre ellos daría una combinación de los \(w_j\) que \(T\) envía a cero, es decir, un vector del núcleo que no es combinación de los \(u_i\). Así \(\dim V=k+r\).
Ejemplo: para \(T(x,y,z)=(x+y,\,y+z)\) el núcleo es la recta generada por \((1,-1,1)\), de dimensión \(1\), y la imagen es \(\mathbb{R}^2\), de dimensión \(2\); en efecto \(1+2=3\), la dimensión de \(\mathbb{R}^3\).
Consecuencias inmediatas: si \(\dim V>\dim W\), ninguna transformación \(V\to W\) puede ser inyectiva, porque el núcleo no es trivial; si \(\dim V<\dim W\), ninguna puede ser suprayectiva. Cuando \(\dim V=\dim W\), inyectiva y suprayectiva son equivalentes. Un error común es aplicar el teorema al codominio: la suma da la dimensión del dominio, no la de \(W\).
Para pensar
Una transformación \(T:\mathbb{R}^5\to\mathbb{R}^5\) es inyectiva. ¿Es suprayectiva?
Sí: el núcleo es \(\{0\}\), así que la imagen tiene dimensión \(5\), que es todo el codominio.
¿Por qué un sistema homogéneo con más incógnitas que ecuaciones siempre tiene soluciones no triviales?
Porque el rango es a lo sumo el número de ecuaciones, así que la nulidad \(n-\text{rango}\) es positiva.
Ejercicios 10
- Una matriz \(3\times5\) tiene rango \(2\). ¿Cuál es la dimensión de su núcleo?
- Una transformación lineal \(T:\mathbb{R}^4\to\mathbb{R}^3\) es suprayectiva. ¿Cuál es la dimensión de su núcleo?
- Una transformación lineal definida en un espacio de dimensión \(6\) tiene núcleo de dimensión \(2\). ¿Cuál es la dimensión de su imagen?
- Sea \(A=\begin{pmatrix}1&2&3&4\\2&4&6&8\\1&0&1&0\end{pmatrix}\). ¿Cuál es la dimensión de su núcleo?
- ¿Qué dimensión tiene la imagen de una transformación lineal inyectiva \(T:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^5\)?
- Sea \(T(x,y,z)=(x-y,\;y-z,\;x-z)\). ¿Cuál es la dimensión de su imagen?
- ¿Puede existir una transformación lineal inyectiva \(T:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^2\)?
- La matriz \(C=\begin{pmatrix}1&0&2&-1\\0&1&1&3\\1&1&3&2\\2&1&5&1\end{pmatrix}\) define \(T(x)=Cx\) de \(\mathbb{R}^4\) en \(\mathbb{R}^4\). ¿Cuánto suman las dimensiones de su núcleo y su imagen?
- Si \(A\) es una matriz \(3\times6\), ¿cuál es el menor valor posible de la dimensión de su núcleo?
- Una matriz \(A\) de \(5\times7\) tiene núcleo de dimensión \(3\). ¿Cuál es la dimensión del espacio generado por sus columnas?
Referencias
- Sheldon Axler, Linear Algebra Done Right, 4th edition, Springer, 2024. §3.B (teorema fundamental de las transformaciones lineales)
- Gilbert Strang, Introduction to Linear Algebra, 6th edition, Wellesley-Cambridge Press, 2023. §3.4
- David C. Lay, Steven R. Lay, Judi J. McDonald, Linear Algebra and Its Applications, 6th edition, Pearson, 2021. §4.6