Transformaciones lineales · Definición

Cambio de base

álgebra linealtransformaciones lineales

Antes de empezar necesitas conocer

Un mismo vector se describe con números distintos según la base elegida; el cambio de base traduce entre esas descripciones y deja elegir la más cómoda para cada problema.

Definición

El cambio de base \(P\) es el paso de las coordenadas de un vector respecto a una base \(B\) a sus coordenadas respecto a otra base \(B'\) del mismo espacio.

\[[x]_{B'}=P_{B'\leftarrow B}\,[x]_B\]

Si \(B=\{b_1,\dots,b_n\}\) es una base, las coordenadas \([x]_B=(c_1,\dots,c_n)\) son los coeficientes de \(x=c_1b_1+\dots+c_nb_n\). Cuando las columnas de una matriz \(P\) son los vectores de \(B\) escritos en la base canónica, \(x=P[x]_B\) y, al ser \(P\) invertible, \([x]_B=P^{-1}x\). Un cambio de base es, por tanto, multiplicar por una matriz invertible.

Entre dos bases cualesquiera \(B\) y \(B'\), la matriz \(P_{B'\leftarrow B}\) tiene como columna \(j\) las coordenadas \([b_j]_{B'}\). Equivale a \((P_{B'})^{-1}P_B\), y la matriz del cambio contrario es su inversa. Ejemplo: para \(B=\{(2,1),(1,1)\}\), el vector \(x=(3,2)\) tiene \([x]_B=(1,1)\), pues \((2,1)+(1,1)=(3,2)\).

El cambio de base también transforma las matrices de las transformaciones lineales. Si \(T(x)=Ax\) en la base canónica, su matriz respecto a \(B\) es \([T]_B=P^{-1}AP\). Las dos matrices describen la misma transformación y se llaman semejantes. Elegir bien \(B\) puede volver diagonal a \([T]_B\), que es la idea central de la diagonalización.

Errores típicos: confundir \(P\) con \(P^{-1}\) (conviene fijarse en qué base hay en cada lado), cambiar el orden de las columnas (la base es ordenada) y olvidar que el vector no cambia: solo cambia su descripción numérica.

Para pensar

Si \(P\) pasa de coordenadas en \(B\) a canónicas, ¿qué matriz pasa de canónicas a coordenadas en \(B\)?

La inversa \(P^{-1}\), que existe porque las columnas de \(P\) forman una base y son independientes.

Si se intercambian dos vectores de \(B\), ¿cambian las coordenadas de un vector?

Sí: se intercambian las dos coordenadas correspondientes, porque la base es ordenada.

Ejercicios 10

  1. Sea \(B=\{(1,1),(1,-1)\}\). Si \([x]_B=(2,3)\), ¿cuál es \(x\) en la base canónica?
  2. Sea \(B=\{(1,0),(1,1)\}\). ¿Cuáles son las coordenadas \([x]_B\) de \(x=(3,2)\)?
  3. Sea \(B=\{(2,1),(1,1)\}\). ¿Qué matriz convierte coordenadas respecto a \(B\) en coordenadas canónicas?
  4. Con \(B=\{(2,1),(1,1)\}\), ¿cuáles son las coordenadas \([x]_B\) de \(x=(3,2)\)?
  5. Si \([x]_B=(1,0,0)\), ¿qué vector es \(x\)?
  6. Sean \(B=\{(1,2),(0,1)\}\) y \(B'=\{(1,0),(1,1)\}\). ¿Cuál es la matriz que pasa de coordenadas en \(B\) a coordenadas en \(B'\)?
  7. Sea \(B=\{(1,1,0),(0,1,1),(0,0,1)\}\). ¿Cuáles son las coordenadas de \(x=(1,2,3)\) respecto a \(B\)?
  8. Sea \(T(x)=Ax\) con \(A=\begin{pmatrix}1&2\\0&3\end{pmatrix}\) y \(B=\{(1,0),(1,1)\}\). ¿Cuál es la matriz \([T]_B\)?
  9. La matriz que pasa de coordenadas en \(B\) a coordenadas en \(B'\) es \(2I\). ¿Qué relación hay entre las bases?
  10. Sea \(T(x)=Ax\) con \(A=\begin{pmatrix}3&1\\0&2\end{pmatrix}\) y \(B=\{(1,0),(1,-1)\}\). ¿Cuál es \([T]_B\)?

Después de esto

Referencias

  • Gilbert Strang, Introduction to Linear Algebra, 6th edition, Wellesley-Cambridge Press, 2023. §8.3
  • Sheldon Axler, Linear Algebra Done Right, 4th edition, Springer, 2024. §3.D
  • David C. Lay, Steven R. Lay, Judi J. McDonald, Linear Algebra and Its Applications, 6th edition, Pearson, 2021. §4.4 y §4.7