Ortogonalidad · Definición

Proceso de Gram–Schmidt

álgebra linealortogonalidad

Antes de empezar necesitas conocer

Responde a la pregunta de cómo fabricar una base ortogonal a partir de cualquier base, para poder calcular con ella sin resolver sistemas.

Definición

Procedimiento que convierte vectores linealmente independientes en una lista ortogonal que genera el mismo subespacio, restando a cada uno sus proyecciones sobre los anteriores.

\[w_k=v_k-\sum_{j

Se avanza vector por vector. El primero se conserva, \(w_1=v_1\). Cada vector siguiente se corrige quitándole su componente a lo largo de todos los anteriores: \(w_2=v_2-\operatorname{proy}_{w_1}v_2\), \(w_3=v_3-\operatorname{proy}_{w_1}v_3-\operatorname{proy}_{w_2}v_3\), y así sucesivamente. Lo que queda es ortogonal a lo ya construido porque cada proyección elimina justo la parte que no lo era.

Ejemplo guía: con \(v_1=(1,1,0)\) y \(v_2=(1,0,1)\), \(w_1=(1,1,0)\) y \(\frac{v_2\cdot w_1}{w_1\cdot w_1}=\frac12\), de modo que \(w_2=(1,0,1)-\tfrac12(1,1,0)=(\tfrac12,-\tfrac12,1)\). Se verifica que \(w_1\cdot w_2=\tfrac12-\tfrac12=0\). Para obtener vectores unitarios basta dividir cada \(w_k\) entre su norma, \(q_k=w_k/\|w_k\|\), y se llega a una base ortonormal.

En cada paso, \(w_1,\dots,w_k\) generan el mismo subespacio que \(v_1,\dots,v_k\): solo se restan combinaciones de los vectores anteriores. Si algún \(w_k\) resulta \(\mathbf 0\), entonces \(v_k\) dependía de los anteriores, es decir, la lista de partida no era independiente. Un error típico es proyectar sobre los \(v_j\) originales en lugar de los \(w_j\) ya ortogonalizados; las proyecciones por separado solo suman bien cuando los vectores de referencia son ortogonales entre sí.

Este proceso demuestra que todo subespacio de dimensión finita tiene una base ortonormal, y es la base de la factorización \(A=QR\), donde \(Q\) guarda los \(q_k\) y \(R\) los coeficientes de las proyecciones. También simplifica los mínimos cuadrados, pues con una base ortonormal la proyección sobre el subespacio es una suma de proyecciones sobre cada vector.

Para pensar

¿Por qué no importa el orden de ortogonalización para que el resultado sea ortogonal, pero sí cambia los vectores obtenidos?

Cualquier orden produce una lista ortogonal que genera el mismo subespacio, pero cada \(w_k\) depende de cuáles vectores se procesaron antes, así que los vectores concretos cambian.

Si \(v_1=(1,0)\) y \(v_2=(0,5)\) ya son ortogonales, ¿qué hace el proceso?

Como \(v_2\cdot w_1=0\), la proyección es cero y \(w_2=v_2\): el proceso no cambia vectores que ya son ortogonales.

Ejercicios 10

  1. Aplica Gram–Schmidt a \(v_1=(1,1)\), \(v_2=(1,0)\). ¿Cuál es el segundo vector ortogonal \(w_2\)?
  2. Aplica Gram–Schmidt a \(v_1=(2,0)\), \(v_2=(3,4)\). ¿Cuál es \(w_2\)?
  3. Aplica Gram–Schmidt a \(v_1=(1,-1)\), \(v_2=(2,0)\). ¿Cuál es \(w_2\)?
  4. En el proceso de Gram–Schmidt, ¿qué se toma como primer vector ortogonal \(w_1\)?
  5. Tras Gram–Schmidt, el primer vector es \(w_1=(3,4)\). ¿Cuál es el vector unitario \(q_1\) correspondiente?
  6. Aplica Gram–Schmidt a \(v_1=(1,1,0)\), \(v_2=(1,0,1)\). ¿Cuál es \(w_2\)?
  7. Aplica Gram–Schmidt a \(v_1=(1,1,1)\), \(v_2=(1,2,3)\). ¿Cuál es \(w_2\)?
  8. Aplica Gram–Schmidt a \(v_1=(1,0,0)\), \(v_2=(1,1,0)\), \(v_3=(1,1,1)\). ¿Cuál es \(w_3\)?
  9. Se aplica Gram–Schmidt a \(v_1,v_2\) con \(v_2=3v_1\) y \(v_1\neq\mathbf 0\). ¿Qué resulta para \(w_2\)?
  10. ¿Cuál afirmación sobre \(w_1,w_2\), el resultado de Gram–Schmidt aplicado a \(v_1,v_2\) linealmente independientes, es verdadera?

Referencias

  • Gilbert Strang, Introduction to Linear Algebra, 6th edition, Wellesley-Cambridge Press, 2023. §4.4
  • David C. Lay, Steven R. Lay, Judi J. McDonald, Linear Algebra and Its Applications, 6th edition, Pearson, 2021. §6.4