Diagonalización

Escribir \(A=PDP^{-1}\) significa que las columnas de \(P\) son vectores propios de \(A\) y que los elementos de la diagonal de \(D\) son sus valores propios, en el mismo orden. En la base de esos vectores, la transformación solo multiplica cada coordenada por un número. Ese es el cambio de base del tema anterior puesto al servicio de los valores propios.

No toda matriz es diagonalizable. La condición exacta es que existan \(n\) vectores propios linealmente independientes, es decir, que la suma de las dimensiones de los espacios propios sea \(n\); equivale a que \(\dim E_\lambda\) iguale la multiplicidad de cada raíz del polinomio característico. Si los \(n\) valores propios son distintos, se cumple automáticamente. La matriz \(\begin{pmatrix}2&1\\0&2\end{pmatrix}\) falla: 2 es raíz doble pero su espacio propio es una recta. Tampoco lo es la rotación de \(90^\circ\) sobre \(\mathbb{R}\), por no tener valores propios reales.

La ganancia práctica son las potencias: \(A^k=PD^kP^{-1}\) y \(D^k\) se obtiene elevando cada entrada de la diagonal. Para \(A=\begin{pmatrix}4&1\\2&3\end{pmatrix}\), con \(D=\operatorname{diag}(5,2)\), basta calcular \(5^k\) y \(2^k\). Un error común es ordenar las columnas de \(P\) de manera distinta a los valores de \(D\); el orden debe coincidir.