Determinantes · Definición

Regla de Cramer

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Antes de empezar necesitas conocer

La regla de Cramer da la solución de un sistema cuadrado como cociente de determinantes: una fórmula explícita para cada incógnita.

Definición

La regla de Cramer da la solución única de un sistema cuadrado, cuya matriz de coeficientes \(A\) tiene determinante no nulo, como cociente de determinantes.

\[x_i=\frac{\det A_i}{\det A}\]

Hasta ahora resolver \(A\mathbf x=\mathbf b\) era un proceso: eliminar, sustituir hacia atrás. Gabriel Cramer, en el siglo XVIII, mostró que cuando hay solución única cada incógnita se puede escribir directamente como un cociente de dos determinantes. Es la primera vez que la solución aparece como una fórmula y no como un procedimiento, y por eso es útil en teoría, por ejemplo para ver cómo cambia \(x_i\) al variar un dato.

La receta es mecánica: \(x_i=\det A_i/\det A\), donde \(A_i\) es \(A\) con su columna \(i\) sustituida por \(\mathbf b\). La idea de fondo es que sustituir una columna por \(\mathbf b\) mide, vía determinantes, cuánto de \(\mathbf b\) aporta esa columna; la propiedad de que el determinante es lineal en cada columna hace que la fórmula funcione. Exige \(\det A\neq0\), es decir, que \(A\) sea invertible; si \(\det A=0\) la regla no dice nada y hay que volver a la eliminación.

Ejemplo guía: para \(x+2y=5,\ 3x-y=1\), \(\det A=-7\), \(\det A_1=-7\) y \(\det A_2=-14\), de donde \(x=1\) y \(y=2\). Para \(2\times2\) y \(3\times3\) es cómoda; para \(n\) grande es mucho más costosa que la eliminación gaussiana, así que en la práctica numérica casi no se usa. Un error típico es sustituir la fila en vez de la columna, o usar \(\det A_i\) en el denominador. En la fórmula, \(A_i\) es la matriz que resulta de reemplazar la columna \(i\) de \(A\) por \(\mathbf{b}\).

Para pensar

¿Puede usarse la regla de Cramer si \(\det A=0\)?

No: habría que dividir entre \(0\). En ese caso el sistema es incompatible o tiene infinitas soluciones, y se estudia con eliminación gaussiana.

Ejercicios 10

  1. Usa la regla de Cramer para hallar \(x\) en \(\begin{cases}2x+y=7\\ x-y=-1\end{cases}\).
  2. La regla de Cramer para un sistema \(A\mathbf{x}=\mathbf{b}\) con \(A\) cuadrada se puede aplicar cuando:
  3. Resuelve para \(y\) con la regla de Cramer: \(\begin{cases}x+2y=8\\ 3x-y=3\end{cases}\).
  4. Para \(\begin{pmatrix}1&1&1\\0&2&1\\1&0&3\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}6\\7\\10\end{pmatrix}\), usa Cramer para hallar \(z\).
  5. En la regla de Cramer, para calcular \(x_i\) se forma \(A_i\) a partir de \(A\):
  6. Para \(\begin{cases}2x+4y=6\\ x+2y=3\end{cases}\), ¿qué se concluye al intentar la regla de Cramer?
  7. ¿Para qué valores de \(k\) el sistema \(\begin{cases}kx+2y=3\\ 2x+ky=1\end{cases}\) tiene solución única?
  8. Si \(\det A=4\) y el determinante de la matriz que resulta de reemplazar la columna 1 por \(\mathbf{b}\) es \(-8\), ¿cuánto vale \(x_1\)?
  9. Resolver un sistema \(4\times4\) con solución única mediante la regla de Cramer requiere calcular, como mínimo:
  10. Sea \(A\) una matriz cuadrada con entradas enteras y \(\det A=1\), y \(\mathbf{b}\) un vector con entradas enteras. ¿Qué se puede afirmar de la solución de \(A\mathbf{x}=\mathbf{b}\)?

Referencias

  • Gilbert Strang, Introduction to Linear Algebra, 6th edition, Wellesley-Cambridge Press, 2023. §5.3
  • Sheldon Axler, Linear Algebra Done Right, 4th edition, Springer, 2024.