Matriz de una transformación lineal

Para construirla se aplica \(T\) a cada vector de la base del dominio y se expresa el resultado en coordenadas de la base del codominio; cada resultado es una columna. En las bases canónicas, la columna \(j\) es simplemente \(T(e_j)\). Por ejemplo, si \(T(x,y)=(2x+y,\,3x-y)\), entonces \(T(e_1)=(2,3)\) y \(T(e_2)=(1,-1)\), y la matriz es \(\begin{pmatrix}2&1\\3&-1\end{pmatrix}\).

Con la matriz, evaluar es multiplicar: las coordenadas de \(T(v)\) se obtienen multiplicando la matriz por las coordenadas de \(v\). Si \(T:\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^m\), la matriz es de \(m\times n\): tantas columnas como la dimensión del dominio y tantas filas como la del codominio. Además, la matriz de la composición \(T\circ S\) es el producto \([T][S]\): primero actúa \(S\), que queda a la derecha.

La matriz depende de las bases elegidas. La misma transformación tiene otra matriz en otra base, y una buena elección puede volverla muy simple, por ejemplo diagonal. Otro ejemplo: la derivada sobre polinomios de grado a lo sumo 2, con la base \(\{1,x,x^2\}\), tiene columnas \((0,0,0)\), \((1,0,0)\) y \((0,2,0)\).

Errores típicos: escribir las imágenes como filas en lugar de columnas y multiplicar en el orden contrario al componer. Esta construcción es la que permitirá estudiar los valores propios: una transformación se entiende mejor en la base donde su matriz es más sencilla.