Ejercicio · ZW-EQUIPOTENCIA-010 · ★★★ Avanzado
Sea \(f\colon A\to B\) biyectiva, con \(A\) finito. ¿Por qué \(B\) también es finito?
Elige una opción.
A Porque \(B\) tiene exactamente los mismos elementos que \(A\) B Porque \(f\) lleva \(A\) dentro de \(B\), así que \(B\) es más grande C Porque la imagen de \(f\) siempre está contenida en \(A\) D Porque la inversa \(f^{-1}\) compuesta con una biyección \(A\to\{1,\dots,n\}\) da una biyección \(B\to\{1,\dots,n\}\) Ver respuesta D. Porque la inversa \(f^{-1}\) compuesta con una biyección \(A\to\{1,\dots,n\}\) da una biyección \(B\to\{1,\dots,n\}\)← Volver a la pregunta
Explicación Si \(A\) tiene \(n\) elementos, hay una biyección \(\varphi\colon A\to\{1,\dots,n\}\). Entonces \(\varphi\circ f^{-1}\) es una biyección \(B\to\{1,\dots,n\}\), y \(B\) es finito.
Dos conjuntos \(A\) y \(B\) son equipotentes si existe una biyección \(f\colon A\to B\). Se escribe \(A\sim B\).
\[A\sim B \iff \exists\, f\colon A\to B\ \text{biyectiva}\]
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