Ejercicio · ZW-INDUCCION-TRANSFINITA-TEORIA-009 · ★★★ Avanzado

¿Es válido concluir que \(P\) vale para todo ordinal si \(P(0)\) se cumple y \(P(\beta)\) implica \(P(\beta+1)\) para todo \(\beta\)? Justifica con un contraejemplo si no lo es.

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  • A. No: \(P(\alpha): \alpha<\omega\) cumple ambas condiciones, pero falla en \(\omega\)

Explicación

Con \(P(\alpha):\alpha<\omega\), se cumplen \(P(0)\) y el paso sucesor, pero \(\omega<\omega\) es falso; por eso el caso límite también es necesario.

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Repasa el concepto: Inducción transfinita

Principio que permite demostrar que una propiedad vale para todos los números ordinales \(\mathrm{On}\), probando que, si vale para todos los anteriores a un ordinal \(\alpha\), también vale para él.

\[\forall\alpha[\forall\beta<\alpha P(\beta)\to P(\alpha)]\to\forall\alpha P(\alpha)\]

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