Puntos de equilibrio

Una ecuación es autónoma cuando su lado derecho depende solo de \(y\), no del tiempo. En ese caso la rapidez de cambio está fijada por el estado actual, y los valores donde \(f(y)=0\) son estados de reposo: si el sistema empieza ahí, se queda ahí para siempre. Se les llama también soluciones constantes o puntos críticos.

Encontrarlos no requiere integrar nada, solo resolver la ecuación algebraica \(f(y)=0\). Por ejemplo, en \(y'=y^2-4y+3=(y-1)(y-3)\) los equilibrios son \(y=1\) y \(y=3\). Una raíz repetida cuenta como un solo equilibrio, y una ecuación como \(y'=y^2+1\) puede no tener ninguno.

Por el teorema de existencia y unicidad, dos soluciones distintas no se cruzan, de modo que las demás curvas solución quedan atrapadas entre equilibrios sucesivos y no pueden atravesarlos. Esto da el esquema cualitativo de la ecuación: entre dos equilibrios consecutivos la solución es monótona, porque \(f\) conserva su signo.

El error más frecuente es buscar equilibrios en ecuaciones que no son autónomas: en \(y'=y-t\) el lado derecho cambia con \(t\) y ninguna constante lo anula siempre. Si un equilibrio atrae o repele a las soluciones vecinas es otra pregunta, la estabilidad, que se estudia más adelante y que, junto con el modelo logístico, usa este concepto.