Densidad de los racionales

La prueba usa la propiedad arquimediana. Dados \(a<b\), se elige \(n\in\mathbb N\) con \(1/n<b-a\) y se toma \(m=\lfloor na\rfloor+1\), el menor entero mayor que \(na\). Entonces \(na<m\le na+1<nb\), y por tanto \(a<m/n<b\). Con \(a=0.3\), \(b=0.4\) y \(n=11\) resulta \(m=4\) y \(q=4/11\).

De la densidad se sigue que hay infinitos racionales en cada intervalo: se aplica el resultado de nuevo entre \(q\) y \(b\), y así sucesivamente. Por la misma razón no existe un racional positivo mínimo. En lenguaje de distancias, para todo real \(x\) y todo \(\varepsilon>0\) hay un racional \(q\) con \(|x-q|<\varepsilon\).

También los irracionales son densos: si \(a<b\), hay un racional \(q\) entre \(a/\sqrt2\) y \(b/\sqrt2\), y entonces \(q\sqrt2\) es irracional (si \(q\ne0\)) y está entre \(a\) y \(b\). Densidad no significa completitud: el conjunto \(\{q\in\mathbb Q: q^2<2\}\) está acotado pero no tiene supremo en \(\mathbb Q\).

Un error común es creer que, por ser denso, \(\mathbb Q\) llena la recta; sin embargo \(\sqrt2\) no es racional. La densidad se usará para aproximar y para pasar de racionales a reales.