Derivación · Definición

Derivabilidad y continuidad

análisis realderivación

Antes de empezar necesitas conocer

Ordena dos propiedades muy usadas de una función en un punto: derivar es más exigente que ser continua.

Definición

Si una función \(f\) es derivable en un punto \(c\), entonces \(f\) es continua en \(c\). El recíproco es falso.

\[f'(c)\text{ existe}\ \Longrightarrow\ \lim_{x\to c}f(x)=f(c)\]

La demostración cabe en dos líneas. Para \(x\ne c\) se escribe \(f(x)-f(c)=\frac{f(x)-f(c)}{x-c}\,(x-c)\). Al hacer \(x\to c\), el primer factor tiende a \(f'(c)\) y el segundo a \(0\), así que el producto tiende a \(0\) y \(f(x)\to f(c)\). La idea es que un cociente incremental con límite finito obliga al numerador a anularse.

El recíproco falla de varias maneras. En \(|x|\) hay una esquina en \(0\): es continua, con pendientes laterales \(\pm1\). En \(x^{1/3}\) la tangente es vertical. En \(x\sin(1/x)\), con valor \(0\) en el origen, el cociente \(\sin(1/h)\) oscila sin límite. En los tres casos la continuidad se conserva, pero la derivada no existe.

Es útil leer el teorema en su forma contrarrecíproca: si \(f\) no es continua en \(c\), no puede ser derivable ahí. Una función con un salto, como la que vale \(0\) a la izquierda y \(1\) desde el origen, queda descartada de inmediato, sin calcular ningún límite.

Hay funciones continuas en toda la recta que no son derivables en ningún punto (el ejemplo clásico de Weierstrass), de modo que la brecha entre ambas propiedades puede ser enorme. En los siguientes conceptos, el teorema de Rolle y el del valor medio, la continuidad en el intervalo cerrado y la derivabilidad en el abierto se piden por separado precisamente por esta diferencia.

Para pensar

Si \(f\) y \(g\) son continuas en \(c\) y \(f+g\) es derivable en \(c\), ¿deben serlo \(f\) y \(g\)?

No. Por ejemplo, \(f(x)=|x|\) y \(g(x)=-|x|\) son continuas, no derivables en \(0\), y su suma es \(0\), derivable en todas partes.

¿Puede una función derivable en \(c\) ser discontinua en puntos arbitrariamente cercanos a \(c\)?

Sí. Ser derivable en un solo punto solo exige continuidad en ese punto: la función de Dirichlet multiplicada por \(x^2\) es derivable en \(0\) y discontinua en todos los demás puntos.

Ejercicios 10

  1. ¿Cuál afirmación es verdadera para una función \(f\) y un punto \(c\)?
  2. ¿Qué ocurre con \(f(x)=|x|\) en \(c=0\)?
  3. Sea \(f(x)=x^{1/3}\). ¿Qué se puede decir en \(c=0\)?
  4. Sea \(f(x)=x^2\) si \(x\le1\) y \(f(x)=ax+b\) si \(x>1\). Si \(f\) es derivable en \(1\), ¿cuánto vale \(a+b\)?
  5. Sea \(f(x)=x^2\sin(1/x)\) para \(x\ne0\) y \(f(0)=0\). ¿Cuánto vale \(f'(0)\)?
  6. Si \(f\) no es continua en \(c\), ¿qué se concluye?
  7. En la demostración de que derivable implica continua, ¿qué igualdad se usa para \(x\ne c\)?
  8. Sea \(f(x)=1\) si \(x\ge0\) y \(f(x)=0\) si \(x<0\). ¿Es \(f\) derivable en \(0\)?
  9. Sea \(f(x)=x\sin(1/x)\) para \(x\ne0\) y \(f(0)=0\). ¿Cuál afirmación es verdadera en \(0\)?
  10. ¿En cuántos puntos no es derivable \(f(x)=|x|+|x-2|+|x+3|\)?

Referencias

  • Stephen Abbott, Understanding Analysis, 2nd edition, Springer, 2015. §5.2, Teorema 5.2.3
  • Walter Rudin, Principles of Mathematical Analysis, 3rd edition, McGraw-Hill, 1976. Cap. 5, Teorema 5.2
  • Robert G. Bartle, Donald R. Sherbert, Introduction to Real Analysis, 4th edition, Wiley, 2011. §6.1, Teorema 6.1.2