Unicidad del límite

La idea de la prueba es que dos números distintos \(L\) y \(M\) pueden separarse con vecindades disjuntas. Sea \(\varepsilon=\frac{|L-M|}{2}>0\). Si \(a_n\to L\), existe \(N_1\) con \(|a_n-L|<\varepsilon\) para \(n\ge N_1\); si \(a_n\to M\), existe \(N_2\) con \(|a_n-M|<\varepsilon\) para \(n\ge N_2\). Tomando \(n\ge\max(N_1,N_2)\) valen las dos a la vez.

Entonces la desigualdad triangular da \(|L-M|\le|L-a_n|+|a_n-M|<2\varepsilon=|L-M|\), es decir \(|L-M|<|L-M|\), absurdo. Por tanto \(L=M\). Una variante equivalente prueba que \(|L-M|<\varepsilon\) para todo \(\varepsilon>0\), lo cual obliga a que \(|L-M|=0\).

La unicidad tiene un uso práctico: para mostrar que una sucesión no converge basta ver que, si lo hiciera, tendría que cumplir dos condiciones incompatibles. En \((-1)^n\), un límite \(L\) tendría que estar a menos de \(\tfrac12\) de \(1\) y de \(-1\) a la vez, lo cual es imposible porque están a distancia \(2\).

El resultado vale en \(\mathbb R\) gracias al valor absoluto y a la desigualdad triangular. En espacios con otras nociones de cercanía también hace falta que dos puntos distintos se puedan separar, y de ahí viene la idea de espacio de Hausdorff.