Integración y series · Definición

Integrabilidad de funciones continuas

análisis realintegración

Antes de empezar necesitas conocer

Dice qué clase amplia de funciones se puede integrar sin construir sumas de Darboux a mano, y es la base para calcular integrales con primitivas.

Definición

Resultado según el cual toda función \(f\) continua en un intervalo cerrado y acotado \([a,b]\) es integrable según Riemann en él.

\[f\text{ continua en }[a,b]\ \Rightarrow\ \int_a^b f(x)\,dx\text{ existe}\]

La idea de la prueba es el criterio de Riemann: basta una partición con \(U(f,P)-L(f,P)<\varepsilon\). La continuidad uniforme da un \(\delta\) que sirve para todo el intervalo; si cada subintervalo mide menos que \(\delta\), la oscilación de \(f\) en él es a lo sumo \(\varepsilon/(b-a)\), y al sumar las áreas de las diferencias se obtiene una brecha de a lo sumo \(\varepsilon\).

Las hipótesis importan. Que el intervalo sea cerrado y acotado es lo que convierte continuidad en continuidad uniforme; en \((0,1]\), la función \(1/x\) es continua pero no acotada y no es integrable. Que la función sea continua es suficiente, no necesario: una función con un salto, o con un número finito de discontinuidades y acotada, sigue siendo integrable.

Ejemplo guía: \(f(x)=x^2\) en \([0,1]\) es continua, así que la integral existe sin más; calcularla con sumas da \(\tfrac13\). Contraejemplo del recíproco: la función de Dirichlet no es continua en ningún punto y tampoco es integrable, pero otras funciones discontinuas sí lo son.

Este resultado garantiza que \(\int_a^x f\) tiene sentido para toda \(f\) continua y todo \(x\in[a,b]\), requisito para el teorema fundamental del cálculo, que ahora relaciona esa integral con la derivada.

Para pensar

¿Por qué \(f(x)=1/x\) en \((0,1]\) es continua pero no integrable según Riemann?

El intervalo no es cerrado y \(f\) no está acotada: los supremos en subintervalos cercanos a \(0\) son arbitrariamente grandes, así que no hay sumas superiores finitas.

Si \(f\) es integrable en \([a,b]\), ¿se sigue que es continua?

No. Una función con un salto, como \(0\) hasta \(\tfrac12\) y \(1\) después, es integrable y no es continua.

Ejercicios 10

Calcula las siguientes integrales

  1. \(\displaystyle \int_0^1 (3x^2+1)\,dx\)

Problemas

  1. ¿Cuál de estas funciones es integrable en \([0,1]\) por ser continua en el intervalo cerrado?
  2. El teorema de integrabilidad de continuas pide que el dominio sea:
  3. Calcula \(\displaystyle\int_1^3 \frac1x\,dx\), que existe porque \(1/x\) es continua en \([1,3]\).
  4. En la prueba para \(f\) continua en \([a,b]\), ¿qué propiedad permite elegir un mismo \(\delta\) para todo el intervalo?
  5. Sea \(f\) continua en \([a,b]\) y \(\varepsilon>0\). Si \(|x-y|<\delta\) implica \(|f(x)-f(y)|<\tfrac{\varepsilon}{b-a}\), y \(P\) tiene subintervalos de longitud menor que \(\delta\), ¿qué se concluye de \(U(f,P)-L(f,P)\)?
  6. La función de Dirichlet no es continua en ningún punto. ¿Qué se puede afirmar con el teorema de integrabilidad de continuas?
  7. Sea \(f(x)=0\) si \(0\le x<\tfrac12\) y \(f(x)=1\) si \(\tfrac12\le x\le1\). ¿Es integrable en \([0,1]\) y cuánto vale su integral?
  8. Sea \(f(x)=\sin(1/x)\) para \(x>0\) y \(f(0)=0\). ¿Cuál afirmación es correcta en \([0,1]\)?
  9. Sea \(f\ge0\) continua en \([0,1]\) con \(\displaystyle\int_0^1 f=0\). ¿Qué se concluye?

Referencias

  • Stephen Abbott, Understanding Analysis, 2nd edition, Springer, 2015. §7.2, Teorema 7.2.9
  • Walter Rudin, Principles of Mathematical Analysis, 3rd edition, McGraw-Hill, 1976. Cap. 6, Teorema 6.8
  • Robert G. Bartle, Donald R. Sherbert, Introduction to Real Analysis, 4th edition, Wiley, 2011. §7.2