Límites y continuidad · Definición

Continuidad uniforme

análisis realcontinuidad

Antes de empezar necesitas conocer

Distingue la continuidad que depende del punto de la que se comporta igual en todo el conjunto; es lo que permite integrar y extender funciones.

Definición

Una función \(f\) es uniformemente continua en un conjunto \(A\) si para cada \(\varepsilon>0\) existe un \(\delta>0\), válido para todos los puntos a la vez, que controla \(|f(x)-f(y)|\) con \(|x-y|\) en \(A\).

\[\forall\varepsilon>0\ \exists\delta>0:\ x,y\in A,\ |x-y|<\delta\Rightarrow|f(x)-f(y)|<\varepsilon\]

En la continuidad ordinaria en un punto \(c\), el \(\delta\) depende de \(\varepsilon\) y también de \(c\). En la continuidad uniforme, un mismo \(\delta\) sirve para todos los puntos de \(A\). Por eso la uniforme es una propiedad del conjunto completo, no de cada punto, y siempre implica la continuidad ordinaria.

El ejemplo clásico de la diferencia es \(f(x)=x^2\). En \([0,3]\) vale \(|x^2-y^2|=|x+y||x-y|\le6|x-y|\), así que \(\delta=\varepsilon/6\) funciona. En \(\mathbb R\) la pendiente crece sin cota: con \(x_n=n\) y \(y_n=n+1/n\) la distancia entre los puntos tiende a \(0\) pero \(|f(y_n)-f(x_n)|\ge2\). Algo parecido le ocurre a \(1/x\) en \((0,1)\), donde el problema es la frontera que no pertenece al dominio.

El teorema de Heine-Cantor dice que toda función continua en un intervalo cerrado y acotado \([a,b]\) es uniformemente continua. Se demuestra por contradicción: si no lo fuera habría sucesiones \(x_n,y_n\) con \(|x_n-y_n|\to0\) pero \(|f(x_n)-f(y_n)|\ge\varepsilon_0\); por Bolzano-Weierstrass una subsucesión de \((x_n)\) converge a algún \(x^*\in[a,b]\), y entonces \(y_{n_k}\to x^*\) también, lo que contradice la continuidad en \(x^*\).

Otras condiciones suficientes son ser lipschitziana (\(\delta=\varepsilon/L\)) o ser derivable con derivada acotada. Una propiedad útil: una función uniformemente continua transforma sucesiones de Cauchy en sucesiones de Cauchy, y por eso una función uniformemente continua en \((a,b)\) se extiende de forma continua a \([a,b]\). Un error común es creer que \(\sqrt x\) no es uniformemente continua en \([0,\infty)\) por no ser lipschitziana; sí lo es, con \(\delta=\varepsilon^2\).

Para pensar

¿Es \(f(x)=x\sin x\) uniformemente continua en \(\mathbb R\)?

No. Con \(x_n=2\pi n\) y \(y_n=2\pi n+1/n\) se tiene \(|x_n-y_n|\to0\), pero \(f(y_n)-f(x_n)=(2\pi n+1/n)\sin(1/n)\to2\pi\).

Si \(f\) y \(g\) son uniformemente continuas en \(A\), ¿lo es \(f+g\)?

Sí: tomando \(\delta=\min(\delta_f,\delta_g)\) para \(\varepsilon/2\) se obtiene \(|(f+g)(x)-(f+g)(y)|<\varepsilon\). El producto, en cambio, puede fallar: \(x\cdot x\) en \(\mathbb R\).

Ejercicios 10

  1. Para \(f(x)=2x\) en \(\mathbb R\), ¿qué \(\delta\) (en función de \(\varepsilon\)) garantiza \(|f(x)-f(y)|<\varepsilon\) cuando \(|x-y|<\delta\)?
  2. ¿Cuál de estas funciones es continua en \((0,1)\) pero no uniformemente continua en \((0,1)\)?
  3. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es verdadera?
  4. Si \(f\) es uniformemente continua en \(A\) y \((x_n)\) es una sucesión de Cauchy en \(A\), ¿qué se concluye?
  5. Si \(|f(x)-f(y)|\le L|x-y|\) para todo \(x,y\) con \(L>0\), ¿qué \(\delta\) sirve para todo \(\varepsilon>0\)?
  6. Para \(f(x)=x^2\) en \([0,3]\) se tiene \(|f(x)-f(y)|=|x+y|\,|x-y|\). ¿Cuál es la menor constante \(L\) con \(|f(x)-f(y)|\le L|x-y|\) en \([0,3]\)?
  7. Para demostrar que \(\sin x\) es uniformemente continua en \(\mathbb R\) se usa \(|\sin x-\sin y|\le|x-y|\). ¿Qué \(\delta\) sirve?
  8. Sea \(f(x)=x^2\) y \(x_n=n\), \(y_n=n+\tfrac1n\). ¿Cuánto vale \(f(y_n)-f(x_n)\)?
  9. Sabiendo que \(|\sqrt x-\sqrt y|\le\sqrt{|x-y|}\) para \(x,y\ge0\), ¿qué \(\delta\) prueba que \(\sqrt x\) es uniformemente continua en \([0,\infty)\)?
  10. Para \(f(x)=1/x\) en \((0,1)\), sean \(x_n=\tfrac1n\) y \(y_n=\tfrac1{n+1}\). ¿Cuánto valen \(|x_n-y_n|\) y \(|f(x_n)-f(y_n)|\)?

Referencias

  • Stephen Abbott, Understanding Analysis, 2nd edition, Springer, 2015. §4.4, Definición 4.4.5
  • Walter Rudin, Principles of Mathematical Analysis, 3rd edition, McGraw-Hill, 1976. Cap. 4, Definición 4.18
  • Robert G. Bartle, Donald R. Sherbert, Introduction to Real Analysis, 4th edition, Wiley, 2011. §5.4, Definición 5.4.1