Límites y continuidad · Definición

Continuidad secuencial

análisis realfuncionescontinuidadsucesiones

Antes de empezar necesitas conocer

Traduce la continuidad al lenguaje de sucesiones, donde los resultados de convergencia ya conocidos (monotonía, subsucesiones, álgebra de límites) se pueden usar directamente.

Definición

Una función \(f\) es secuencialmente continua en \(c\) si, para toda sucesión \((x_n)\) del dominio que converge a \(c\), la sucesión de imágenes \(f(x_n)\) converge a \(f(c)\).

\[x_n\to c\ \Longrightarrow\ f(x_n)\to f(c)\]

El resultado central es el criterio secuencial: para una función real en un punto de su dominio, ser continua en \(c\) y ser secuencialmente continua en \(c\) son lo mismo. Si \(f\) es continua y \(x_n\to c\), dado \(\varepsilon\) el \(\delta\) de la definición vale para \(|x_n-c|<\delta\) desde cierto \(n\), así que \(f(x_n)\to f(c)\). El recíproco se prueba por contrarrecíproca: si \(f\) no es continua, existe \(\varepsilon\) tal que para cada \(\delta=1/n\) hay \(x_n\) con \(|x_n-c|<1/n\) y \(|f(x_n)-f(c)|\ge\varepsilon\).

En la práctica el criterio se usa sobre todo para refutar. Basta una sucesión \(x_n\to c\) cuyas imágenes no converjan a \(f(c)\): con \(x_n=-1/n\) la función escalón resulta discontinua en \(0\), y con \(x_n=\sqrt2/n\) la de Dirichlet. Dos sucesiones que converjan a \(c\) con imágenes de límites distintos también bastan, porque a lo sumo una de ellas puede converger a \(f(c)\).

También simplifica demostraciones de propiedades generales. Como \(f(x_n)\to f(c)\) y \(g(x_n)\to g(c)\), el álgebra de límites de sucesiones da de inmediato que \(f+g\), \(fg\) y, con \(g(c)\ne0\), \(f/g\) son continuas en \(c\). La composición se trata igual aplicando la condición primero a \(g\) y luego a \(f\).

El criterio exige todas las sucesiones: comprobarlo con unas pocas sucesiones concretas, aunque den \(f(c)\), no demuestra continuidad, y una sucesión que no converja a \(c\) no dice nada. En espacios más generales ambas nociones pueden separarse, pero en \(\mathbb R\) coinciden, y esta equivalencia se usará con el teorema del valor intermedio y con los teoremas sobre intervalos cerrados.

Para pensar

Demuestra que \(f(x)=x^2\) es continua en \(c\) usando sucesiones.

Si \(x_n\to c\), por el álgebra de límites \(x_n^2=x_n\cdot x_n\to c\cdot c=c^2=f(c)\).

¿Basta comprobar \(f(x_n)\to f(c)\) para \(x_n=c+1/n\) para concluir que \(f\) es continua en \(c\)?

No. La condición debe cumplirse para toda sucesión convergente a \(c\); por ejemplo, una función con un salto a la izquierda de \(c\) satisface la condición con \(c+1/n\) y no es continua.

Ejercicios 10

  1. Sea \(f(x)=x^2\) y \(x_n=1+1/n\). ¿A qué converge \(f(x_n)\)?
  2. Sea \(f(x)=1\) si \(x\ge0\) y \(f(x)=-1\) si \(x<0\). ¿Qué sucesión que converge a \(0\) muestra que \(f\) no es continua en \(0\)?
  3. Sea \(f\) la función de Dirichlet (\(1\) en racionales, \(0\) en irracionales) y \(x_n=\sqrt2/n\). ¿Cuál es \(\lim f(x_n)\)?
  4. Si \(f\) es continua en \(c\), ¿qué se cumple?
  5. Sea \(f(x)=\dfrac{x^2-1}{x-1}\) si \(x\ne1\) y \(f(1)=3\). Con \(x_n=1+1/n\), ¿a qué converge \(f(x_n)\)?
  6. Para probar que \(f\) no es continua en \(c\) con el criterio secuencial basta exhibir:
  7. Sea \(f(x)=\sin(1/x)\) para \(x\ne0\) y \(f(0)=0\). Con \(x_n=\dfrac{1}{\pi/2+2\pi n}\), ¿a qué converge \(f(x_n)\)?
  8. El criterio secuencial dice que, para una función real \(f\) en un punto \(c\) de su dominio:
  9. Sea \(f(x)=x\) si \(x\) es racional y \(f(x)=0\) si es irracional. ¿En qué puntos es continua?
  10. Sean \(f\) y \(g\) continuas en \(c\), con \(f(c)=3\) y \(g(c)=-2\). Si \(x_n\to c\), ¿a qué converge \(f(x_n)\,g(x_n)\)?

Referencias

  • Stephen Abbott, Understanding Analysis, 2nd edition, Springer, 2015. §4.3, Teorema 4.3.2
  • Walter Rudin, Principles of Mathematical Analysis, 3rd edition, McGraw-Hill, 1976. Cap. 4, Teorema 4.2 (límites por sucesiones)
  • Robert G. Bartle, Donald R. Sherbert, Introduction to Real Analysis, 4th edition, Wiley, 2011. §5.1, Teorema 5.1.3